Question

量子力学基础问题求解答（2）

如何区分一个可观察量的本征值是分立的还是连续的？

Answer 1

这个需要看具体的系统、具体的相互作用形式。同一个可观测量的本征值在不同的系统中分立还是连续是可以不同的，甚至同一系统也可能一段本征值是分立的、另一段是连续的，比如氢原子能量。
分立本征值通常来源于以下两个地方：1）由系统的薛定谔方程得到的微分方程的无穷级数解在相关量子数连续的情况下趋于无穷，这显然没有物理意义；但当量子数取某些分立数值时，无穷基数可以中断为多项式，这就有限了。2）从系统相关的对易代数出发，构造升位算符、降位算符，使得相关的量子数的变化量最小只能是1或变化量为整数。

Answer 2

本佂值是分立的所对应的态也是分立的。连续的本佂值所对应的态也是连续的。例如：以氢原子光谱为例，lyman系所对应的态间跃迁，谱线是一根一根的，不是胡子眉毛一片的！如果把氢原子猛进地激发，把它弄到high里德堡态，这样氢原子的谱近似于连续谱。当然，自由电子的能谱就是连续谱。供你参考！