Question

在平面直角坐标系xoy，已知点A（－1，－2），B（2，3），C（－2，－1）

（1）求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长
（2）设实数t满足（向量AB－t·向量OC）·向量OC=0，求t的值

Answer 1

解：
①设平行四边形为ABCD，对角线即为BC、AD
已知向量A（－1，－2），B（2，3）
则向量AB=（3，5），向量CD=向量AB=（3，5）
D坐标为（1，4）
得：向量AD=（2，6），向量CB=（4，4）
AD=2√10，BC=4√2
②由题意可知：（向量AB－t·向量OC）与向量OC垂直
已知向量AB=（3，5），向量OC=（-2，-1）
则：（向量AB－t·向量OC）=（3+2t，5+t）
（向量AB－t·向量OC）·向量OC=（3+2t，5+t）（-2，-1）=0
（3+2t）*（-2）+（5+t）（-1）=0
11+5t=0
t=-2.2

Answer 2

⑴设D（x,y）则→AB=（3，5），→AC=（-1，1），→CD=（x+2,y+1），→BD=(x-2,y-3)
∵ABCD为平行四边形
∴→AB=→CD，→AC=→BD
∴3y+3-5x-10=0
5x-3y+7=0①
3-y-x+2=0
x+y-5=0②
由①②得x=1,y=4
∴D（1,4）
→AD=(2,6)
｜→AD｜=√(4+36)=√40=2√10→BC=(-4,-4),
｜→BC｜=√(16+16)=4√2

②向量AB－t·向量OC）与向量OC垂直
向量AB=（3，5），向量OC=（-2，-1）
向量AB－t·向量OC）=（3+2t，5+t）
（向量AB－t·向量OC）
向量OC=（3+2t，5+t）（-2，-1）=0
（3+2t）*（-2）+（5+t)（-1）=0
11+5t=0
t=-2.2

Answer 3

A（－1，－2），B（2，3）
则向量AB=（3，5），向量CD=向量AB=（3，5）
D坐标为（1，4）
得：向量AD=（2，6），向量CB=（4，4）