Question

分解因式(1+x+x^2+x^3+........x^n)^2-x^n

Answer 1

【楼上的，你的解答似乎不对吧】
【个人觉得：n有限制条件“ ≥2”】

储备知识：
x^n-y^n=(x-y)【x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y²+……+x²y^(n-3)+xy^(n-2)+y^(n-1)】

比如x^6-1=(x-1)(x^5+x^4+x³+x²+x+1)

因为n不定，不妨取个特殊值代入尝试
当n=5时，原式
= (1+x+x²+x³+x^4+x^5)²-x^5

=【[(x-1)(1+x+x²+x³+x^4+x^5)]²/(x-1)²】 -x^5

=【(x^6-1)²/(x-1)²】-x^5

=【(x^6-1)²-x^5(x-1)²】/（x-1)²

=【x^12-2x^6+1-x^5(x²-2x+1)】/（x-1)²

=（x^12-x^7-x^5+1）/(x-1)²

=【x^7(x^5-1)-(x^5-1)】/(x-1)²

=【(x^7-1)(x^5-1)】/(x-1)²

=【[(x-1) (x^6+x^5+x^4+x³+x²+x+1)][(x-1) (x^4+x³+x²+x+1)]】/(x-1)²

= (x^6+x^5+x^4+x³+x²+x+1) (x^4+x³+x²+x+1)

再看原题，类比上面做法，有
(1+x+x^2+x^3+........x^n)^2-x^n

=【[(x-1)(1+x+x²+x³+……+x^n)]²/(x-1)²】 -x^n

=【[x^(n+1)-1]²/(x-1)²】-x^n

=【[x^(n+1)-1)²-x^n(x-1)²】/（x-1)²

=【x^(2n+2)-x^(n+2)-x^n+1】/(x-1)²

=【x^(n+2)(x^n-1)-(x^n-1)】/(x-1)²

=【[x^(n+2)-1](x^n-1)】/(x-1)²

=【(x-1)[x^(n+1)+x^n+……+x²+x+1]】【(x-1)[x^(n-1)+……+x³+x²+x+1]】 /(x-1)²

=【x^(n+1)+x^n+……+x²+x+1】【x^(n-1)+……+x³+x²+x+1】

【希望对你有帮助】

Answer 2

(1+x+x^2+x^3+........x^n)^2-x^n
=(1+x+x^2+x^3+........x^n)²-[x^(n/2)]²
=(1+x+x^2+x^3+........x^n+x^n/2)(1+x+x^2+x^3+........x^n-x^n/2)