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一、绝对值
1、一个数a与原点的距离叫做该数的___________
2、互为相反数的两个数的绝对值_________
3、一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越___________
4、－ 的绝对值是_________
5、绝对值最小的数是_________
6、绝对值等于5的数是___________，它们互为_____________
7、若b＜0且a = | b | ，则 a 与 b的关系是____________
8、一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____________0（填“＞”或“＜”）、
9、如果 | a | ＞ a ，那么a是____________、
10、绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为______________________
11、将下列各数由小到大排列顺序是________________________________________
－ ， ，|－ | ， 0 ， |－5. 1 |
12、如果－ | a | = | a | ，那么 a =__________
13、已知 | a | + | b | + | c | = 0，则 a =_____，b =_______，c = _______
14、比较大小（填写“＞”或“＜”号）
（1）－ _____|－ | （2）|－ |_____0
（3）|－ | _____ |－ | （4）－ _____－
15、－|－ |=_______，－（－ ）=_______，－ | + |=_______，－（+ ）=_______，�+| －（ ）|�=_______，+（－ ）=_______
16、_______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身、
17、a+b=0,则a与b_______、
18、若 | x | = ，则 x 的相反数是_______
19、若 | m － 1 | = m － 1 , 则 m _______1； 若 | m － 1 | > m － 1 , 则 m_______1；
若 | x |= | －4 | , 则x =_______； 若 | － x |= | | , 则 x =______
20、绝对值是2的数有_____个，它们是_____，绝对值是 的数有_____个，它们
是_______， 0的绝对值记作| __ | =_________，－100的绝对值是_________，
记作 | | =_______、
21、写出3 个小于－1000并且大于－1003的数 。
22、相反数等于它本身的数是 、
23、－3.5的倒数是 ， 相反数是 、
24、（本小题（4分）把下列各数填入相应的集合里
，π，
整数集合 分数集合 负整数集合 非负数集合
二、选择题
25、 的值是（ ）
（A）－2 （B）2 （C）4 （D）－4
26、若 ，则 =（ ）
（A）2 （B） （C）2 或 （D）以上答案都不对
27、下列说法不正确的是 ( )
（A）0既不是正数，也不是负数 （B） 1是绝对值最小的数
（C）一个有理数不是整数就是分数 （D） 0的绝对值是0
28、绝对值小于3的所有整数的和是（ ）
（A）3 （B）-3 （C）0 （D）6
39、下列说法正确的是（ ）
（A）符号相反的数是相反数；
（B）符号相反的数且绝对值相等的数互为相反数；
（C）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；
（D）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远、
30、一个有理数的倒数是它本身，这个数是（ ）
（A）0 （B） 1 （C） （D）1或
二、细心填一填 (本大题共8小题，每小题3分，共24分)
31、把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来。
3.5， -3.5， 0 ， 2， -0.5 ， -2 ， 0.5， -1
绝对值2 姓名
一、选择题
1.－ 的绝对值是（ ）
A.－2 B.－ C.2 D.
2. 下列各对数中互为相反数的是（ ）
A．-（+3）和+（-3） B．-（-3）和+（-3） C．-（+3）和-3 D．+（-3）和-3
3. 在数轴上距离原点2个单位长度的点所表示的数是（ ）
A.2 B.－2 C.2或－2 D.1或－1
4. 在－ 中,负数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. 下列说法：①有理数的绝对值一定是正数；②一个数的绝对值的相反数一定是负数；
③互为相反数的两个数,必然一个是正数,一个是负数；④互为相反数的绝对值相等；
⑤ 的相反数是-3.14；⑥任何一个数都有它的相反数.其中正确的个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.若 ,则 是 （ ）
A.0 B.正数 C.负数 D.负数或0
7. 下列说法:① 如果a=－13,那么－a=13, ② 如果a=－1,那么－a=－1,
③ 如果a是非负数,那么－a是正数, ④如果a是负数,那么 +1是正数, 其中正确
的是（ ）
A ①③ B ①② C ②③ D ①④
8. 如图所示,根据有理数 、 、 在数轴上的位置,下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会有相应的变化.若点A先从原点开始，
先向右移动3个单位长度，在向左移动5个单位长度，这时该点所对应的数的相反
数是（ ）
A.2 B.-2 C.8 D.-8
二.填空题
10. 12 的相反数的绝对值是 , |－12| 的倒数的相反数是 , －12 的绝对
值的相反数是 .
11. 一个数的绝对值是6,那么这个数是 .
12. 在 的绝对值与 的相反数之间的整数是 .
13. 绝对值等于本身的数是 .相反数等于本身的数是 ,绝对值最小的负整
数是 , 绝对值最小的有理数是 .
14. 化简: .
16. 已知 ，则 和 的关系为_________________。
三.解答题
15. 比较 与 的大小.
16.将－2.5，12，2，－|－2|，－（－3），0在数轴上表示出来，并用“>”把他们连接起来.
17.已知 ,并且 a＜b求 、 的值,
1、一个数a与原点的距离叫做该数的___________
2、互为相反数的两个数的绝对值_________
3、一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越___________
4、－ 的绝对值是_________
5、绝对值最小的数是_________
6、绝对值等于5的数是___________，它们互为_____________
7、若b＜0且a = | b | ，则 a 与 b的关系是____________
8、一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____________0（填“＞”或“＜”）、
9、如果 | a | ＞ a ，那么a是____________、
10、绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为______________________
11、将下列各数由小到大排列顺序是________________________________________
－ ， ，|－ | ， 0 ， |－5. 1 |
12、如果－ | a | = | a | ，那么 a =__________
13、已知 | a | + | b | + | c | = 0，则 a =_____，b =_______，c = _______
14、比较大小（填写“＞”或“＜”号）
（1）－ _____|－ | （2）|－ |_____0
（3）|－ | _____ |－ | （4）－ _____－
15、－|－ |=_______，－（－ ）=_______，－ | + |=_______，－（+ ）=_______，�+| －（ ）|�=_______，+（－ ）=_______
16、_______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身、
17、a+b=0,则a与b_______、
18、若 | x | = ，则 x 的相反数是_______
19、若 | m － 1 | = m － 1 , 则 m _______1； 若 | m － 1 | > m － 1 , 则 m_______1；
若 | x |= | －4 | , 则x =_______； 若 | － x |= | | , 则 x =______
20、绝对值是2的数有_____个，它们是_____，绝对值是 的数有_____个，它们
是_______， 0的绝对值记作| __ | =_________，－100的绝对值是_________，
记作 | | =_______、
21、写出3 个小于－1000并且大于－1003的数 。
22、相反数等于它本身的数是 、
23、－3.5的倒数是 ， 相反数是 、
24、（本小题（4分）把下列各数填入相应的集合里
，π，
整数集合 分数集合 负整数集合 非负数集合
二、选择题
25、 的值是（ ）
（A）－2 （B）2 （C）4 （D）－4
26、若 ，则 =（ ）
（A）2 （B） （C）2 或 （D）以上答案都不对
27、下列说法不正确的是 ( )
（A）0既不是正数，也不是负数 （B） 1是绝对值最小的数
（C）一个有理数不是整数就是分数 （D） 0的绝对值是0
28、绝对值小于3的所有整数的和是（ ）
（A）3 （B）-3 （C）0 （D）6
39、下列说法正确的是（ ）
（A）符号相反的数是相反数；
（B）符号相反的数且绝对值相等的数互为相反数；
（C）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；
（D）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远、
30、一个有理数的倒数是它本身，这个数是（ ）
（A）0 （B） 1 （C） （D）1或
二、细心填一填 (本大题共8小题，每小题3分，共24分)
31、把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来。
3.5， -3.5， 0 ， 2， -0.5 ， -2 ， 0.5， -1
绝对值2 姓名
一、选择题
1.－ 的绝对值是（ ）
A.－2 B.－ C.2 D.
2. 下列各对数中互为相反数的是（ ）
A．-（+3）和+（-3） B．-（-3）和+（-3） C．-（+3）和-3 D．+（-3）和-3
3. 在数轴上距离原点2个单位长度的点所表示的数是（ ）
A.2 B.－2 C.2或－2 D.1或－1
4. 在－ 中,负数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. 下列说法：①有理数的绝对值一定是正数；②一个数的绝对值的相反数一定是负数；
③互为相反数的两个数,必然一个是正数,一个是负数；④互为相反数的绝对值相等；
⑤ 的相反数是-3.14；⑥任何一个数都有它的相反数.其中正确的个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.若 ,则 是 （ ）
A.0 B.正数 C.负数 D.负数或0
7. 下列说法:① 如果a=－13,那么－a=13, ② 如果a=－1,那么－a=－1,
③ 如果a是非负数,那么－a是正数, ④如果a是负数,那么 +1是正数, 其中正确
的是（ ）
A ①③ B ①② C ②③ D ①④
8. 如图所示,根据有理数 、 、 在数轴上的位置,下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会有相应的变化.若点A先从原点开始，
先向右移动3个单位长度，在向左移动5个单位长度，这时该点所对应的数的相反
数是（ ）
A.2 B.-2 C.8 D.-8
二.填空题
10. 12 的相反数的绝对值是 , |－12| 的倒数的相反数是 , －12 的绝对
值的相反数是 .
11. 一个数的绝对值是6,那么这个数是 .
12. 在 的绝对值与 的相反数之间的整数是 .
13. 绝对值等于本身的数是 .相反数等于本身的数是 ,绝对值最小的负整
数是 , 绝对值最小的有理数是 .
14. 化简: .
16. 已知 ，则 和 的关系为_________________。
三.解答题
15. 比较 与 的大小.
16.将－2.5，12，2，－|－2|，－（－3），0在数轴上表示出来，并用“>”把他们连接起来.
17.已知 ,并且 a＜b求 、 的值,
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相反数：只有性质符号不同的两个数，才互为相反数。如和-；-3和3；7和-7都是互为相反数。0的相反数是0，由定义知相反数是成对出现的（但-3和5不叫相反数），数轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如下图，5与-5互为相反数，
一般地，数a的相反数是-a, 记作-(a)=-a；-a的相反数是a, 即-(-a)=a，这里a可表示正数，负数和0。
正数的相反数是负数；0的相反数还是0；负数的相反数是正数。例如：-（+5）=-5，-0=0，-（-7）=7等等。
2．绝对值：
（1）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作|a|。例如-3在数轴上表示它的点与原点的距离是3个单位长度，如图，
∴ -3的绝对值是3，即|-3|=3。
（2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
用式子表示为：若a是有理数，则
|a| = 或 |a|= 或 |a| =
这几种表示法是等价的。例如：|5|=5， |0|=0， |-6|=6等等。
由绝对值的概念可知：
①一个数绝对值是非负数，即|a|≥0。
②互为相反数的两个数的绝对值相等。
例如：|-7|=7，|7|=7。反之，若|m|=8,则m=±8,在这里要考虑到m的两种情况，建立分类的思想。
3．有理数大小比较的法则如下：
（1）利用数轴比较有理数的方法；即在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）比较有理数的一般方法；即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
（3）两个负数比较大小的方法和步骤：
①先求出两个负数的绝对值，比较两个绝对值的大小。
②用法则判断：绝对值大的反而小。
例如，试比较-与-的大小，因为|-|=，|-|=，而>, 所以-<-。
三、例题：
例1．判断正误
（1）符号相反的数叫相反数；
（2）数轴上原点两旁的数叫相反数；
（3）-a是相反数，
（4）-a和a都是相反数。
分析：（1）不正确。例如，-8和7的符号相反，但它们不互为相反数。（说明：当我们否定一件事情时，只需举出一个反例。）
（2）不正确。例如，-9和5在数轴上表示它们的点一个在原点左侧，一个在原点右侧，但它们不互为相反数。
（3）不正确。因为相反数指的是两个数之间的关系，只有一个数时，不能说是相反数。例如-4是4的相反数，而不能说-4是相反数。
（4）不正确。应说成：-a和a互为相反数。
例2．
（1）用相反数的概念化简-[-(-)]
（2）一个数的倒数是，求这个数的相反数。
（3）一个数的相反数的倒数是3，求这个数。
解：（1）-(-)表示-的相反数，-的相反数是，
∴-(-)=，
同样-[]=-，∴ -[-(-)]=-[]=-。
（2）∵的倒数是， ∴ 这个数是，
∴ -（）=-， ∴这个数的相反数是-。
注意：要弄清楚倒数与相反数两个名词的区别，不要弄混淆。
（3）∵3=，的倒数是，的相反数是-，
∴ 这个数是-。
我们还可以利用方程的方法来解（3）小题：
设这个数为x，依题意得：
-x=, ∴-x=1, ∴ x=-。
当然在没有学习有理数运算的同学做起来会有一些困难，但对于学有余力的同学不妨试一试。
例3．比较-5和-5.6的大小。
解：∵|-5|=5=5., |-5.6|=5.6,
∴|-5|>|-5.6|
∴-5<-5.6。 (两个负数比较大小，绝对值大的反而小)。
例4．比较m与|m|的大小。
分析：∵|m|≥0, 而m为有理数，它可能为正数，负数或0，因此我们必须分三种情况进行讨论，数学上称这种思想方法为“分类讨论”。
解：当m≥0时，|m|=m, ∴m=|m|,
当m<0时，|m|=-m>0, ∴ m<|m|。
综上所述，当m≥0时，m=|m|； 当m<0时， m<|m|。
例5．若|x|=8, |y|=5, 求 x+y的值。
解：∵|x|=8, ∴ x=±8 (注意x可取两个值)
∵|y|=5, ∴ y=±5。 (同上)
由此可知x, y共有四组不同的取值，下面分别进行讨论（即分类讨论）：
当x=8, y=5时, x+y=8+5=13；
当x=8, y=-5时, x+y=8+(-5)=3；
当x=-8, y=5时, x+y=(-8)+5=-3；
当x=-8, y=-5时, x+y=(-8)+(-5)=-13；
∴x+y的值为±13或±3。
注意：此题应用到了有理数的加减法，未学加减法的同学可注重理解解题思路。
四、练习：
（一）判断正误：
（1）任何一个数的相反数都是负数。 （ ）
（2）a一定是正数。 （ ）
（3）-a一定是负数。 （ ）
（4）|n|一定是正数。 （ ）
（5）∵|a|=|b|, ∴a=b。 （ ）
（6）∵|a|=|b|，∴a=b或a=-b。 （ ）
（7）∵|-m|=4, ∴m=-4。 （ ）
（8）若|a|=2，则a=±2。 （ ）
（9）只有两个数相等，它们的绝对值才能相等。 （ ）
（10）互为相反数的两个数的绝对值相等。 （ ）
（二）、化简下列各数：
(1) -(+) (2) -(-5) (3) -[-(-7)] (4) -[+(-8)]
(5) -[-(+6)] (6) +[-(-9)]
（三）、计算：
(1) |0|+|-27| (2) |-3|+|4|
(3) |2.46|+|-5.54| (4) |-9|-|4-2.25|+ |-5|
（四）、填空：
（1）24是______的相反数，是_____的倒数，是_______的绝对值。
（2）-13和+13互为_____，|-13|=_____，|13|=_____，它们的绝对值______。
（3）把-7，-7，|-5|，3.5, 0, 7填入下列适当的位置：
____ <____ <____ <____ <____ <____。
（4）若-a>0, 则a_____0。
（5）任何一个_______数的相反数都是正数，_____的相反数是0，任何一个______数的相反数都是负数。
（6）任何一个有理数的绝对值都是________数。
（7）_______的相反数是它本身；_______数的绝对值是它本身；______的倒数是它本身。
（8）_______的相反数大于它本身；________的相反数小于它本身；________的绝对值大于它本身。
（9）若|x+5|=0, 则x =________。
（10）若 |-|=, 则y=________。
（11）若x为整数，则满足条件|x|<4的x值为_______。（可借助于数轴寻找）
（12）任何数的绝对值都不是_______数。
练习参考答案：
（一）判断正误：
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6) √
(7)× (8)√ (9)× (10)√
（二）化简下列各数：
(1) - (2) 5 (3)-7 (4)8 (5)6 (6)9
（三）计算：
(1)27 (2) 8 (3)8 (4) 12
（四）填空：
(1)-24；；±24 (2)相反数；13；13；相等
(3)-7<-7<0<3.5<|-5|<7 (4)a<0
(5) 负，0，正 (6) 非负
(7) 0；非负数；±1 (8)负数；正数；负数
(9)-5 (10) ±6
(11) -3,-2,-1,0,1,2,3 (12)负
相反数，绝对值、有理数大小的比较（二）
绝对值与相反数的意义是本章的重点之一，也是难点，是我们今后学习有理数运算及根式等内容的基础，因此应引起我们的足够重视，多练习，勤思考，认真总结它们的性质，才能较深刻地认识这两个概念。本讲我们将对相反数、绝对值的性质继续进行研究。主要研究下列几点：
1、任何数的绝对值都是一个非负数。
即若a为有理数，则|a|≥0。如|-7|=7，|0|=0，|5|=5等等。
2、互为相反数的两个数的绝对值相等。
即，若a+b=0，则|a|=|b|。如，|7|=7，|-7|=7，∴|-7|=|7|。又如，若|a|=5，则a=±5。反之，若两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数。即，若|a|=|b|，则a=b或a=-b。例如，若|x|=|-5|，则x=5或
x=-5。
3、如果几个非负数的和为零，那么每个非负数都要等于零。
用式子表示为：若|a|+|b|=0，则|a|=0且|b|=0，∴a=0且b=0。
例如：|x+1|+|y-3|=0，则x+1=0且y-3=0，∴x=-1且y=3。
一、例题：
例1、根据下列条件求x：
（1）|x-2|=5，
（2）已知数轴上表示x的点与3的距离为3，求x。
（3）|x|≤2 （4）|x|>3 （5）1<|x|≤3
解:(1)∵|x-2|=5,把x-2看作一个整体,则有x-2=5或x-2=-5,
∴x=7或x=-3。(注意一个数的绝对值等于5,那么这个数是±5,不要丢掉一个)
(2)这个问题可借助于数轴来思考,即用数形结合的方法。
由上图可看出0和6与3的距离都为3, ∴x的值为0或6。
这个问题用式子来表示为: |x-3|=3。
∴x-3=3或x-3=-3
∴x=6或x=0
显然这与(1)小题是类似的问题。
(3)∵|x|≤2。此类问题可借助于数轴来帮助我们解决,即用数形结合的方法,观察在数轴上哪些点与原点的距离小于等于2。
∴-2≤x≤2。
(4)∵|x|>3,我们同样借助于数轴来解:
∴x<-3或x>3。
注意:从(3),(4)题的图上可看出,属于包括的端点要用小黑圆点“·”表示,不包括的则用小圈“°”表示。
(5)∵1<|x|≤3,同样利用数轴
∴-3≤x<-1或1<x≤3。
例2.已知|a|=7，|b|=4，且a>b，求的值。
解:∵|a|=7, ∴a=±7； ∵|b|=4, ∴b=±4,
又∵a>b。
∴只有当a=7时，b=4或当a=7时，b=-4这两种情况。
∴当a=7，b=-4时，==-
当a=7，b=4时，==(异号两数的积为负数)
∴的值为+或-。
例3.已知|a+b|+|a-b|=0求a,b的值。
解:∵|a+b|+|a-b|=0根据非负数的性质知
|a+b|=0且|a-b|=0(注意这里的“且”字不要误写成“或”)
∴a+b=0且a-b=0
∴a=-b且a=b
∴a=b=0。
例4.若|x-3|+|2x-y|+|2z+3|=0,求2x+y+z的值。
解:∵|x-3|+|2x-y|+|2z+3|=0根据非负数的性质。
∴|x-3|=0且|2x-y|=0且|2z+3|=0
∴x-3=0且2x-y=0且2z+3=0
∴x=3且y=2x=6且z=-
∴2x+y+z=2×3+6+(-)=10
例5.若|x-2|=3,|4y+2|=4,且x|y|<0,求|3y-x|
解:∵|x-2|=3， ∴x-2=3或x-2=-3
∴x=5或x=-1。
∵|4y+2|=4， ∴4y+2=4或4y+2=-4。
∴y=或y=-。
又∵x|y|<0, ∴x<0。
∴只取当x=-1时,y=，或当x=-1时,y=-两种情况。
当x=-1,y=时,|3y-x|=|3×-(-1)|=2。
当x=-1,y=-时,|3y-x|=|3×(-)-(-1)|=3。
∴|3y-x|等于2或3。
例6.若x≠0，求①的值，②的值。
解:①当x>0时, ==0
当x<0时, ===-2
∴若x≠0，则的值当x>0时为0,当x<0时为-2。
②当x>0时, ==1-1=0。
当x<0时, ==(-1)-(-1)=0
∴若x≠0,则=0。
二.练习:
(一)填空:
(1)在有理数范围内,最小的整数是______,最大的负整数是______,最小的非负整数是_______,最大的正整数是_______,绝对值最小的数是______。
(2)-x=6,则x=_____；_____的相反数是2.1。
(3)当|x|=5时,3x=_____。
(4)若|-x|=|-8|,则x=_____。
(5)若|x-5|=0,|2y+4|=0,则|x+y|=_____。
(6)已知x是绝对值最小的有理数,y是最大的负整数,则xy++3x+3y=_____。
(7)_____的绝对值和相反数都等于它本身。
(8)若|a|=9,b是最小的正整数,则a+b=_____。
(9)|x|=3,|y|=4,则x+y=________。
(10)已知a<0,则=_______。
(二)比较下列各数的大小,并用“>”号连接起来。
-[+(-5)],-|-2|,-(-2),-(+),-|-1|,0,-。
(三)已知数轴上表示数a的点在原点的左边,表示数b的点在原点的右边,且|a|>|b|,用“<”号把数a，b，-a，-b连接起来。
(四)试比较m与2m的大小。
(五)根据下列条件求x:
(1)|2x-3|=5 (2)|x|≤5
(3)|x|>4 (4)1≤|x|<6。
(六)已知|5x-4|+|2y-6|=0,求的值。
(七)在数轴上点A与表示数2的点的距离为7,求点A所表示的数。
练习参考答案:
(一)填空:
(1)不存在；-1；0不存在；0 (2)-6；-2.1
(3)±15 (4)x=±8 (5)3 (6)-3 (7)0 (8)10或-8
(9)±1或±7 (10)0
(二)比较大小:
-[+(-5)]>-(-2)>0>-(+)>-|-1|>-|-2|>-
(三)提示:利用数轴,标出a,b,-a,-b,即用数形结合的方法,如图:
∴a<-b<b<-a。
(四)解:∵m-2m=-m(利用两数之差与0的关系比较两数大小)
当m>0时, m-2m=-m<0, ∴m<2m。
当m=0时,-m=0, ∴m=2m。
当m<0时,-m>0, ∴m>2m。
综上,当m>0时；m<2m；当m=0时,m=2m；当m<0时,m>2m。
(五)求x:
(1)x=4或x=-1 (2)-5≤x≤5
(3)x<-4或x>4 (4)-6<x≤-1或1≤x<6。
(六)x=, y=3,。
(七)用数轴表示:
或用式子表示:设点A表示的数为x，则|x-2|=7,
∴x-2=7或x-2=-7,
∴x=9或x=-5。
∴点A表示的数为9或-5。
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一般地，数a的相反数是-a, 记作-(a)=-a；-a的相反数是a, 即-(-a)=a，这里a可表示正数，负数和0。
正数的相反数是负数；0的相反数还是0；负数的相反数是正数。例如：-（+5）=-5，-0=0，-（-7）=7等等。
2．绝对值：
（1）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作|a|。例如-3在数轴上表示它的点与原点的距离是3个单位长度，如图，
∴ -3的绝对值是3，即|-3|=3。
（2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
用式子表示为：若a是有理数，则
|a| = 或 |a|= 或 |a| =
这几种表示法是等价的。例如：|5|=5， |0|=0， |-6|=6等等。
由绝对值的概念可知：
①一个数绝对值是非负数，即|a|≥0。
②互为相反数的两个数的绝对值相等。
例如：|-7|=7，|7|=7。反之，若|m|=8,则m=±8,在这里要考虑到m的两种情况，建立分类的思想。
3．有理数大小比较的法则如下：
（1）利用数轴比较有理数的方法；即在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）比较有理数的一般方法；即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
（3）两个负数比较大小的方法和步骤：
①先求出两个负数的绝对值，比较两个绝对值的大小。
②用法则判断：绝对值大的反而小。
例如，试比较-与-的大小，因为|-|=，|-|=，而>, 所以-<-。
三、例题：
例1．判断正误
（1）符号相反的数叫相反数；
（2）数轴上原点两旁的数叫相反数；
（3）-a是相反数，
（4）-a和a都是相反数。
分析：（1）不正确。例如，-8和7的符号相反，但它们不互为相反数。（说明：当我们否定一件事情时，只需举出一个反例。）
（2）不正确。例如，-9和5在数轴上表示它们的点一个在原点左侧，一个在原点右侧，但它们不互为相反数。
（3）不正确。因为相反数指的是两个数之间的关系，只有一个数时，不能说是相反数。例如-4是4的相反数，而不能说-4是相反数。
（4）不正确。应说成：-a和a互为相反数。
例2．
（1）用相反数的概念化简-[-(-)]
（2）一个数的倒数是，求这个数的相反数。
（3）一个数的相反数的倒数是3，求这个数。
解：（1）-(-)表示-的相反数，-的相反数是，
∴-(-)=，
同样-[]=-，∴ -[-(-)]=-[]=-。
（2）∵的倒数是， ∴ 这个数是，
∴ -（）=-， ∴这个数的相反数是-。
注意：要弄清楚倒数与相反数两个名词的区别，不要弄混淆。
（3）∵3=，的倒数是，的相反数是-，
∴ 这个数是-。
我们还可以利用方程的方法来解（3）小题：
设这个数为x，依题意得：
-x=, ∴-x=1, ∴ x=-。
当然在没有学习有理数运算的同学做起来会有一些困难，但对于学有余力的同学不妨试一试。
例3．比较-5和-5.6的大小。
解：∵|-5|=5=5., |-5.6|=5.6,
∴|-5|>|-5.6|
∴-5<-5.6。 (两个负数比较大小，绝对值大的反而小)。
例4．比较m与|m|的大小。
分析：∵|m|≥0, 而m为有理数，它可能为正数，负数或0，因此我们必须分三种情况进行讨论，数学上称这种思想方法为“分类讨论”。
解：当m≥0时，|m|=m, ∴m=|m|,
当m<0时，|m|=-m>0, ∴ m<|m|。
综上所述，当m≥0时，m=|m|； 当m<0时， m<|m|。
例5．若|x|=8, |y|=5, 求 x+y的值。
解：∵|x|=8, ∴ x=±8 (注意x可取两个值)
∵|y|=5, ∴ y=±5。 (同上)
由此可知x, y共有四组不同的取值，下面分别进行讨论（即分类讨论）：
当x=8, y=5时, x+y=8+5=13；
当x=8, y=-5时, x+y=8+(-5)=3；
当x=-8, y=5时, x+y=(-8)+5=-3；
当x=-8, y=-5时, x+y=(-8)+(-5)=-13；
∴x+y的值为±13或±3。
注意：此题应用到了有理数的加减法，未学加减法的同学可注重理解解题思路。
四、练习：
（一）判断正误：
（1）任何一个数的相反数都是负数。 （ ）
（2）a一定是正数。 （ ）
（3）-a一定是负数。 （ ）
（4）|n|一定是正数。 （ ）
（5）∵|a|=|b|, ∴a=b。 （ ）
（6）∵|a|=|b|，∴a=b或a=-b。 （ ）
（7）∵|-m|=4, ∴m=-4。 （ ）
（8）若|a|=2，则a=±2。 （ ）
（9）只有两个数相等，它们的绝对值才能相等。 （ ）
（10）互为相反数的两个数的绝对值相等。 （ ）
（二）、化简下列各数：
(1) -(+) (2) -(-5) (3) -[-(-7)] (4) -[+(-8)]
(5) -[-(+6)] (6) +[-(-9)]
（三）、计算：
(1) |0|+|-27| (2) |-3|+|4|
(3) |2.46|+|-5.54| (4) |-9|-|4-2.25|+ |-5|
（四）、填空：
（1）24是______的相反数，是_____的倒数，是_______的绝对值。
（2）-13和+13互为_____，|-13|=_____，|13|=_____，它们的绝对值______。
（3）把-7，-7，|-5|，3.5, 0, 7填入下列适当的位置：
____ <____ <____ <____ <____ <____。
（4）若-a>0, 则a_____0。
（5）任何一个_______数的相反数都是正数，_____的相反数是0，任何一个______数的相反数都是负数。
（6）任何一个有理数的绝对值都是________数。
（7）_______的相反数是它本身；_______数的绝对值是它本身；______的倒数是它本身。
（8）_______的相反数大于它本身；________的相反数小于它本身；________的绝对值大于它本身。
（9）若|x+5|=0, 则x =________。
（10）若 |-|=, 则y=________。
（11）若x为整数，则满足条件|x|<4的x值为_______。（可借助于数轴寻找）
（12）任何数的绝对值都不是_______数。
练习参考答案：
（一）判断正误：
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6) √
(7)× (8)√ (9)× (10)√
（二）化简下列各数：
(1) - (2) 5 (3)-7 (4)8 (5)6 (6)9
（三）计算：
(1)27 (2) 8 (3)8 (4) 12
（四）填空：
(1)-24；；±24 (2)相反数；13；13；相等
(3)-7<-7<0<3.5<|-5|<7 (4)a<0
(5) 负，0，正 (6) 非负
(7) 0；非负数；±1 (8)负数；正数；负数
(9)-5 (10) ±6
(11) -3,-2,-1,0,1,2,3 (12)负
相反数，绝对值、有理数大小的比较（二）
绝对值与相反数的意义是本章的重点之一，也是难点，是我们今后学习有理数运算及根式等内容的基础，因此应引起我们的足够重视，多练习，勤思考，认真总结它们的性质，才能较深刻地认识这两个概念。本讲我们将对相反数、绝对值的性质继续进行研究。主要研究下列几点：
1、任何数的绝对值都是一个非负数。
即若a为有理数，则|a|≥0。如|-7|=7，|0|=0，|5|=5等等。
2、互为相反数的两个数的绝对值相等。
即，若a+b=0，则|a|=|b|。如，|7|=7，|-7|=7，∴|-7|=|7|。又如，若|a|=5，则a=±5。反之，若两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数。即，若|a|=|b|，则a=b或a=-b。例如，若|x|=|-5|，则x=5或
x=-5。
3、如果几个非负数的和为零，那么每个非负数都要等于零。
用式子表示为：若|a|+|b|=0，则|a|=0且|b|=0，∴a=0且b=0。
例如：|x+1|+|y-3|=0，则x+1=0且y-3=0，∴x=-1且y=3。
一、例题：
例1、根据下列条件求x：
（1）|x-2|=5，
（2）已知数轴上表示x的点与3的距离为3，求x。
（3）|x|≤2 （4）|x|>3 （5）1<|x|≤3
解:(1)∵|x-2|=5,把x-2看作一个整体,则有x-2=5或x-2=-5,
∴x=7或x=-3。(注意一个数的绝对值等于5,那么这个数是±5,不要丢掉一个)
(2)这个问题可借助于数轴来思考,即用数形结合的方法。
由上图可看出0和6与3的距离都为3, ∴x的值为0或6。
这个问题用式子来表示为: |x-3|=3。
∴x-3=3或x-3=-3
∴x=6或x=0
显然这与(1)小题是类似的问题。
(3)∵|x|≤2。此类问题可借助于数轴来帮助我们解决,即用数形结合的方法,观察在数轴上哪些点与原点的距离小于等于2。
∴-2≤x≤2。
(4)∵|x|>3,我们同样借助于数轴来解:
∴x<-3或x>3。
注意:从(3),(4)题的图上可看出,属于包括的端点要用小黑圆点“·”表示,不包括的则用小圈“°”表示。
(5)∵1<|x|≤3,同样利用数轴
∴-3≤x<-1或1<x≤3。
例2.已知|a|=7，|b|=4，且a>b，求的值。
解:∵|a|=7, ∴a=±7； ∵|b|=4, ∴b=±4,
又∵a>b。
∴只有当a=7时，b=4或当a=7时，b=-4这两种情况。
∴当a=7，b=-4时，==-
当a=7，b=4时，==(异号两数的积为负数)
∴的值为+或-。
例3.已知|a+b|+|a-b|=0求a,b的值。
解:∵|a+b|+|a-b|=0根据非负数的性质知
|a+b|=0且|a-b|=0(注意这里的“且”字不要误写成“或”)
∴a+b=0且a-b=0
∴a=-b且a=b
∴a=b=0。
例4.若|x-3|+|2x-y|+|2z+3|=0,求2x+y+z的值。
解:∵|x-3|+|2x-y|+|2z+3|=0根据非负数的性质。
∴|x-3|=0且|2x-y|=0且|2z+3|=0
∴x-3=0且2x-y=0且2z+3=0
∴x=3且y=2x=6且z=-
∴2x+y+z=2×3+6+(-)=10
例5.若|x-2|=3,|4y+2|=4,且x|y|<0,求|3y-x|
解:∵|x-2|=3， ∴x-2=3或x-2=-3
∴x=5或x=-1。
∵|4y+2|=4， ∴4y+2=4或4y+2=-4。
∴y=或y=-。
又∵x|y|<0, ∴x<0。
∴只取当x=-1时,y=，或当x=-1时,y=-两种情况。
当x=-1,y=时,|3y-x|=|3×-(-1)|=2。
当x=-1,y=-时,|3y-x|=|3×(-)-(-1)|=3。
∴|3y-x|等于2或3。
例6.若x≠0，求①的值，②的值。
解:①当x>0时, ==0
当x<0时, ===-2
∴若x≠0，则的值当x>0时为0,当x<0时为-2。
②当x>0时, ==1-1=0。
当x<0时, ==(-1)-(-1)=0
∴若x≠0,则=0。
二.练习:
(一)填空:
(1)在有理数范围内,最小的整数是______,最大的负整数是______,最小的非负整数是_______,最大的正整数是_______,绝对值最小的数是______。
(2)-x=6,则x=_____；_____的相反数是2.1。
(3)当|x|=5时,3x=_____。
(4)若|-x|=|-8|,则x=_____。
(5)若|x-5|=0,|2y+4|=0,则|x+y|=_____。
(6)已知x是绝对值最小的有理数,y是最大的负整数,则xy++3x+3y=_____。
(7)_____的绝对值和相反数都等于它本身。
(8)若|a|=9,b是最小的正整数,则a+b=_____。
(9)|x|=3,|y|=4,则x+y=________。
(10)已知a<0,则=_______。
(二)比较下列各数的大小,并用“>”号连接起来。
-[+(-5)],-|-2|,-(-2),-(+),-|-1|,0,-。
(三)已知数轴上表示数a的点在原点的左边,表示数b的点在原点的右边,且|a|>|b|,用“<”号把数a，b，-a，-b连接起来。
(四)试比较m与2m的大小。
(五)根据下列条件求x:
(1)|2x-3|=5 (2)|x|≤5
(3)|x|>4 (4)1≤|x|<6。
(六)已知|5x-4|+|2y-6|=0,求的值。
(七)在数轴上点A与表示数2的点的距离为7,求点A所表示的数。
练习参考答案:
(一)填空:
(1)不存在；-1；0不存在；0 (2)-6；-2.1
(3)±15 (4)x=±8 (5)3 (6)-3 (7)0 (8)10或-8
(9)±1或±7 (10)0
(二)比较大小:
-[+(-5)]>-(-2)>0>-(+)>-|-1|>-|-2|>-
(三)提示:利用数轴,标出a,b,-a,-b,即用数形结合的方法,如图:
∴a<-b<b<-a。
(四)解:∵m-2m=-m(利用两数之差与0的关系比较两数大小)
当m>0时, m-2m=-m<0, ∴m<2m。
当m=0时,-m=0, ∴m=2m。
当m<0时,-m>0, ∴m>2m。
综上,当m>0时；m<2m；当m=0时,m=2m；当m<0时,m>2m。
(五)求x:
(1)x=4或x=-1 (2)-5≤x≤5
(3)x<-4或x>4 (4)-6<x≤-1或1≤x<6。
(六)x=, y=3,。
(七)用数轴表示:
或用式子表示:设点A表示的数为x，则|x-2|=7,
∴x-2=7或x-2=-7,
∴x=9或x=-5。
∴点A表示的数为9或-5。
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