Question

点P为抛物线y^2=8x上一动点,F为抛物线焦点,点A坐标为(2,3),则PA的绝对值+PF的绝对值的最小值为

Answer 1

这道题可以采用数形结合法来做。
首先，抛物线上的任意一点到焦点和到准线的距离是相等的。所以这道题可以把PF的绝对值看成是P到准线的距离。我们可以把P在准线的射影设为B，当A,P,B三点在一条直线上时，PA的绝对值+PB的绝对值最小。即PA的绝对值+PF的绝对值最小。最小值为2-（-2）=4

Answer 2

y^2=8x
2p=8 p=4
可知焦点(2,0)
准线y=-2

过A,P分别向y=-2做垂线 垂足为B和Q
P到y=-2距离|PQ|
由抛物线的定义
|PQ|=|PF|

则|PA|+|PF|
=|PA|+|PQ|
[两边之和大于第三边且A,P,Q三点共线时取等号]
≥|AQ|
[直角三角形ABQ中 斜边AQ>直角边AB且A,B,P三点共线时取等号]
≥|AB|
=2+2
=4

取最小值时A,B,P三点共线
可知P点纵坐标为3
代入y^2=8x x=9/8
P(9/8,3)