Question

一道初二数学题！十万火急！！！

已知下列等式：
1^3=1^2
1^3+2^3=3^2
1^3+2^3+3^3=6^2
1^3+2^3+3^3+4^3=10^2
·······
1.由此规律知，第5个等式是
2.你能猜出第k个等式是
假定第k个等式已经成立，你能利用这个等式进一步证明第k+1个等式也成立吗？（已知1+2+3+···+k= k(k+1)/2

Answer 1

第5个等式是
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2

第k个等式是
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+...+k^3=(1+2+3+···+k)^2

证明：已知第k个等式是
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+...+k^3=(1+2+3+···+k)^2
所以，第k+1个等式是
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+...+k^3+（k+1）^3=(1+2+3+···+k)^2+（k+1）^3
= {k(k+1)/2}^2+（k+1）^3
=(1+2+3+···+k+k+1)^2
所以，第k+1个等式也成立

Answer 2

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2
1^3+2^3+3^3+4^3+...+k^3=(k(k+1)/2)^2

Answer 3

第5个等式是

1³+2+3³+4³+5³=15²

第k个等式是1³+2³+....+k³=(1+2+3+...+k)²

第k+1个等式=[ k(k+1)/2]²+(k+1)³=1/4[(k+1)²+(k²+4k+4)]=1/4(k+1)²(k+2)²=(1+2+..+k+k+1)²

Answer 4

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2

1^3+2^3+3^3+4^3+......+k^3=(k(k+1)/2)^2
证明：令k=k+1带进上述等式中，进行证明

Answer 5

1、1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=（1+2+3+4+5）^2=15^2
2、1^3+2^3+3^3+4^3+....+k^3=(1+2+3+4+...+k)^2=[k(k+1)/2]^2
1+2+3+4+...+k=k(k+1)/2
1+2+3+4+...+k+(k+1)=(k+1)(k+1+1)/2=(k+1)(k+2)/2
因为1^3+2^3+3^3+4^3+....+k^3=[k(k+1)/2]^2
1^3+2^3+3^3+4^3+....+k^3+（k+1)^3-(1^3+2^3+3^3+4^3+....+k^3)=（k+1)^3
[(k+1)(k+2)/2]^2-[k(k+1)/2]^2
=(k+1)^2(k+2)^2/4-k^2(k+1)^2/4
=(k+1)^2(k^2+4k+4-k^2)/4
=(k+1)^2(4k+4)/4
=（k+1)^3=1^3+2^3+3^3+4^3+....+k^3+（k+1)^3-(1^3+2^3+3^3+4^3+....+k^3)
因此1^3+2^3+3^3+4^3+....+k^3+（k+1)^3=[1+2+3+1+...+k+（k+1)]^2也成立。

Answer 6

1. 1³+2³+3³+4³+5³=15²
2. 1³+2³+3³+……+(k-1)³+k³=[k(k+1)/2]²
证明：
第k+1个式子为
1³+2³+3³+……+(k-1)³+k³+(k+1)³
=(k(k+1)/2)²+(k+1)³
=(k+1)²*(k/2)²+(k+1)³
=(k+1)²*[(k/2)²+(k+1)]
=(k+1)²*[k²/4+k+1]
=(k+1)²*(k/2+1)²
=(k+1)²*[(k+2)/2]²
=[(k+1)(k+2)/2]²

写的很辛苦。。。希望采纳