Question

直线系方程

求当m取何值时，直线l1：5x-2y+3m(3m+1)=0与l2：2x+6y-3m(9m+20)=0的交点到直线l3：4x-3y-12=0的距离最短？这个最短距离是多少？
（不要直接解方程，要简便一点的）

Answer 1

5x-2y+3m(3m+1)=0(1)
2x+6y-3m(9m+20)=0(2)
(1)×3+(2)
17x+9m(3m+1)-3m(9m+20)=0
17x=27m²+60m-27m²-9m
17x=51m
x=3m
代入（2）
6m+6y=3m(9m+20)
m+y=m(9m+20)/2
y=(9m²+18m)/2
到直线距离d=｜12m-3/2(9m²+18m)-12｜/5=3/10｜-9m²-10m-8｜=3/10｜9(m+5/9)²+47/9｜
=27/10(m+5/9)²+47/30
当m=-5/9时，d有最小值47/30
此时交点（-5/3，-65/18）

Answer 2

直线1与直线2联立。求交点为x=3m，y=4.5m^2+9m 代入求距离公式，分子的二元一次表达式
得m=-5/9 距离d=69/18