Question

一道高二数学题

如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是0<k≤12或k＝8倍根号三。
请问为什么，有办法的话，说说怎样利用正弦定理求有几个解

Answer 1

因为在三角形中边和角的关系有：
a/sinA = b/sinB

所以12/sin60 = k/sinA
也就是sinA = k/12 * sin60 = 根号3 * k / 24 --- (1)

由于角B=60，所以A的取值范围是0到120度。
当A>60度时，(1)式的A可能有两个值，一个是锐角的A，一个是180-A度。这样就与满足条件的三角形ABC恰有一个矛盾，所以A的取值范围只能是0到60度，但唯一特例就是A=90度的时候，这时还是能够保证有唯一解的。
0<A<=60度意味着0<sinA<=(根号3) /2，代入(1)得到0<k<=12
A=90度带入(1)得到k=8*根号3
这就是你要问的问题。 ：）