Question

已知椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a大于b大于0)的右焦点为F,上顶点A,P为C1上任意一点,MN

是圆c2：x2+(y-3)2=1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3-根号3的直线L恰好与圆c2相切
1:求C1的离心率
2：若向量PM乘向量PN的最大值为49，求C1的方程
3：若过椭圆C1的右焦点F的直线L叫椭圆C1的点为S，T，交y轴于R点，向量RS=v1乘以向量SF, 向量RT=v2乘以向量TF,求证v1+v2是定值。

Answer 1

解:(1)直线l的方程为bx+cy-(3-)c=0.

因为直线l与圆C2：x2+(y-3)2=1相切,所以d==1.

可得2c2=a2,从而e=.

(2)设P(x,y),则·=(+)(+)=- =x2+(y-3)2-1=-(y+3)2+2c2+17(-c≤y≤c),

或者设M(x1,y1),N(x2,y2)，P(x,y),因为x1+x2=0,y1+y2=6,x12+y12-6y1+8=0.

所以·=(x1-x)(x2-x)+(y1-y)(y2-y)=x2+y2-(x1+x2)x+(y1+y2)y+x1x2+y1y2=x2+y2+6y-x12+y1

(6-y1)=x2+y2+6y+8=-(y+3)2+2c2+17.

①当c≥3时,(·)max=17+2c2=49,解得c=4,此时椭圆C1为+=1.

②当0＜c＜3时,(·)max=-(-c+3)2+17+2c2=49,

解得c=5-3,但(5-3)-3=-6＞0,

所以5-3＞3.故c=5-3舍去.

综上所述,椭圆C1的方程为=1.