Question

判断二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在区间[-b/2a,+∞)上的增减性并依定义给出证明

Answer 1

当a>0j时，在-b/2a的左边是减函数，在它的右边是增函数。
当a<0时，在-b/2a的左边是增函数，在它的右边是减函数。
证明，当a>0时，任意设x1>x2<-b/2a
f(x1)-f(x2)
如大于零则为增函数，小于零则为减函数。
当a>0时，任意设x1>x2>=-b/2a
如大于零则为增函数，小于零则为减函数。
当a<0时同理证明。

Answer 2

-b/2a是最值点的横坐标。又a<0，所以由图像知道：[-b/2a,+∞)上递减。
证明：设m、n属于[-b/2a,+∞)且m<n。只要证f(m)-f(n)>0即可。
f(m)-f(n)=a(m^2-n^2)+b(m-n)=a(m+n)(m-N)+b(m-n)=[a(m+n)+b](m-n)
由于m与n都大于-b/2a。故：m+n>-b/a。故a(m+n)<-b。所以a(m+n)+b<0,m-n<0。
所以f(m)-f(n)>0。得证。

Answer 3

设m、n属于[-b/2a,+∞)且m<n。只要证f(m)-f(n)>0即可。
f(m)-f(n)=a(m^2-n^2)+b(m-n)=a(m+n)(m-N)+b(m-n)=[a(m+n)+b](m-n)
由于m与n都大于-b/2a。故：m+n>-b/a。故a(m+n)<-b。
所以a(m+n)+b<0,m-n<0。
所以f(m)-f(n)>0。得证。