Question

数学题：推理与证明

观察①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=3/4
②sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=3/4
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想。

PS：各位大虾帮帮忙，如果觉得证明不好写，就写个思路吧，谢谢了。

Answer 1

参考插图

Answer 2

sin2x+cos2(x+30°)+sin x cos(x+30°)
=sin2x+cos(2x+60°)/2+1/2+sin x *cos(x+30°)
=sin2x+(cos2x cos60°-sin2x sin60°)/2+1/2+sin x *(cosx cos30°-sinx sin30°)
=sin2x+cos2x/4+sin2x √3/4+1/2+ sinxcosx *√3/2-sin2x/2
=sin2x+(1-2sin2x)/4+sinxcosx *√3/2+1/2+ sinxcosx *√3/2-sin2x/2
=sin2x-sin2x/2+1/4+1/2-sin2x/2=3/4
即sin2x+cos2(x+30°)+sin x cos(x+30°)=3/4
所以①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=3/4
②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=3/4