Question

一道高中数学解析几何题，急求！好的加分！

已知点P(根号2，1)，在双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2上，且他到双曲线的一个焦点F距离为1.
求过点F的直线l交此双曲线于A、B两点，若弦长AB不超过4，求直线l的倾斜角的取值范围

双曲线方程我算出来是x^2+y^2=1 ,可范围怎么算？？？

拜托啦要有过程~

Answer 1

设过点F的直线L是y=m（x-根号2)=mx-m根号2
A点坐标(x1,y1) B(x2,y2)
所以弦长|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(x1-x2)^2+(mx1-mx2+m根号2-m根号2)^2
=(x1-x2)^2+(x1-x2)^2m^2
=(m^2+1)(x1-x2)^2
=(m^2+1)((x1+x2)^2-4x1x2)
所以y=m（x-根号2) x^2-y^2=1。
联立 得 x^2-(m（x-根号2))^2=1
x^2-m^2x^2+2根号2m^2x-2m^2=1
x^2(1-m^2)+ 2根号2m^2x-2m^2-1=0
所以韦达定理 x1+x2=2根号2m^2/(m^2-1)
x1x2=(2m^2+1)/(m^2-1)
代入(m^2+1)((x1+x2)^2-4x1x2)
因为弦长|AB|<=4
则弦长|AB|^2<=16
(m^2+1)((x1+x2)^2-4x1x2)<=16
(m^2+1)((x1+x2)^2-4x1x2)<=16
(m^2+1)((2根号2m^2/(m^2-1))^2-4(2m^2+1)/(m^2-1))<=16
设m^2=t
(t+1)((2根号2t/(t-1))^2-4(2t+1)/(t-1))<=16
化简得
(t+1)4(t+1)<=16(t-1)^2
(t+1)^2-4(t-1)^2<=0
(t+1+2(t-1))(t+1-2(t-1))<=0
(3t-1)(3-t)<=0
(t-3)(3t-1)>=0
所以t>=3
或t<=1/3
所以 m>=根号3或m<=-根号3
或 -根号3/3=<m<=根号3/3
又因为 x^2(1-m^2)+ 2根号2m^2x-2m^2-1=0
判别式>0
(2根号2m^2)^2-4(-2m^2-1)(1-m^2)>0
(2根号2t)^2-4(-2t-1)(1-t)>0
8t^2+4(2t+1)(1-t)>0
2t^2-2t^2+1+t>0
t>-1
则m^2>-1
恒成立
所以m>=根号3或m<=-根号3
或 -根号3/3=<m<=根号3/3
所以tana>=根号3或tana<=-根号3
或 -根号3/3=<tana<=根号3/3
得PAI/3=<a<=2/3PAI 或 0=<a <=PAI/6或5/6PAI=<a<=PAI

这题目有点难
应该是行的了
祝你新春快乐

Answer 2

直接弦长公式啊不就得到了？哎