Question

高中一道数学椭圆题

补充一下过程，感激不尽

Answer 1

设P坐标为(Xp,Yp)，椭圆：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，圆O：x2+y2=b2。
⑴ 直线PA、PB的方程分别是XaXp+YaYp=b2、XbXp+YbYp=b2
所以A、B所在直线方程XXp+YYp=b2与圆x2+y2=b2可得：
A、B交点方程：x2+[(b2-XpX)/Yp]2=b2
即(Xp2+Yp2)x2-2Xpb2x+b2-Yp2b2=0 .......①
所以 XaXb=(b2-Yp2b2)/(Xp2+Yp2) ......② （由韦达定理）
同理 YaYb=(b2-Xp2b2)/(Xp2+Yp2) .....③
又因 Kap= -Xa/Ya ， Kbp= -Xb/Yb ，且 Kap×Kbp=-1,
所以 Xa/Ya×Xb/Yb= -1；
即 XaXb= -YaYb ......④
所以由②③④式可得：Yp2+Xp2=2 .......⑤
又因 Xp2/a2+Yp2/b2=1 所以 (2 -Yp2)/a2+Yp2/b2=1
即 (1 -b2/a2)Yp2=b2 -2b2/a2
因为 e=c/a 所以e2=c2/a2=(a2 -b2)/a2=1 -b2/a2 得
e2Yp2=b2 -2+2e2 即 e2(Yp2-2)=b2 -2
由⑤式可知 Yp2≤2，所以 b2 -2≤0；当Yp=0 时 Xp2=a2=2
此时 e2=1 -b2/2
当b=√2时P(Xp,Yp)就是圆Xp2+Yp2=2=b2与椭圆内切点P，∠APB不存在，所以Yp2<b2<2,
e2=(2 -b2)/(2 -Yp2) >(2 -b2)/2 ，[a2=b2(2 -Yp2)/(b2 -Yp2)]
即 1>e>√(1 -b2/2) （b2<2，同时可得a2>2）
当P(Xp,Yp)在x轴上时,e=√(1 -b2/2) （a2=2）
当P(Xp,Yp)在y轴上时，e=1椭圆就变成抛物线，显然不成立，况且也不合题意。
⑵
由上知直线AB方程XpX+YpY=b2 则与x，y轴交点坐标分别为M(b2/Xp,0)，N(0,b2/Yp)
所以ON2=(b2)2/Yp2 ；OM2=(b2)2/Xp2
则有a2/ON2+b2/OM2=a2Yp2/(b2)2+b2Xp2/(b2)2=a2(Yp2/b2+Xp2/a2)/b2=a2/b2 (为定值)