Question

高中向量

a,b,c是三个向量。向量a的模为2，向量b的模为2，向量c的模为1。（a-c)*(b-c)=0。求（向量a-向量b)模的取值范围
话说答案是根号7减1到根号7加1

Answer 1

a,b,c是三个向量。│a│=2，│b│=2，│c│=1。（a-c)•(b-c)=0。求│a-b│的取值范围
解：∵a-c)•(b-c)=0，∴(a-c)⊥(b-c)
作图：画直角坐标轴，作一、三象限的角平分线L，再以原点O为园心，2为半径画
园，在x轴上找一点P,过P作L的平行线，与园O相交于A,使│PA│=1,那么向量PA=-c.
向量OA=a, 向量OP＝a+(-c)=a-c.
同样，在y轴上找一点M,过M作L的平行线，与园O相交于B，使│MB│=1,那么向量MB
=-c, 向量OB=b,向量OM=b+(-c)=b-c.
联接AB,那么向量BA=a-b.
△OPA≌△OMB,设∠POA=α,那么在△OPA中，│OA│=2, │PA│=1, ∠OPA=45°,
故由正弦定理得sinα=(sin45°)/2=(√ 2)/4. 而∠AOB=90°+2α=90°+2arcsin(√2/4)
故由余弦定理得│a-b│=│AB│=√[{2²+2²-2×2×2cos[90°+2arcsin(√2/4)]}
=√{8[1+sin2arcsin(√2/4)]}=√8{1+2sin[arcsin(√2/4)]cos[arcsin(√2/4)]}
其中，sinarcsin(√2/4)=√2/4, cosarcsin(√2/4)=±√[1-(√2/4)²]=±√(7/8)=±(1/2)√(7/2),
于是1+2sin[arcsin(√2/4)]cos[arcsin(√2/4)]=1+2×(√2/4)×[±(1/2)√(7/2)]=1±(√7)/4
∴│a-b│=│AB│=√{8[1±(√7)/4]}=√(8±2√7)=√[(√7±1)²]=(√7)±1.
即 (√7)-1≤│a-b│≤(√7)+1.

Answer 2

（a-c)*(b-c)=0
ab-ac-bc-1=0
ab=1+2cosα+acosβ
2ab=2+4(cosα+cosβ)
-2ab=-2-4(cosα+cosβ)
（向量a-向量b)^2=a2+b2-2ab=8-2-4(cosα+cosβ)=6-4(cosα+cosβ)
-2≤cosα+cosβ≤2
-2≤6-4(cosα+cosβ)≤14
0≤（向量a-向量b)^2≤14
0≤|（向量a-向量b)|≤√14