Question

高中数学综合题！大哥大姐们帮帮忙吧·

Answer 1

1) 令 x =0 ，可以得到
n = a0 + a1 + ... + an
a1 + ... + an = -120
所以 a0 = n +120
令 x = 1，可以得到
a0 = 2+2^2 + ... + 2^n = 2(1 +2 + ... 2^(n-1)) = 2(2^n-1)
所以：n +120= 2(2^n-1)
n +122 =2^(n+1)
所以 n = 6
2)
2(1 +2 + ... 2^(n-1)) = 2(2^n-1)
利用归纳法
由于 n 属于 N*，当 n = 1的时候
2(2^1-1) = 2
n(n+1)/2 = 1
2>1
从而假设 n = k
2(2^k-1) >k(k+1)/2
2* 2(2^k-1) +2 = 2（2^(k+1) -1）
2* k(k+1)/2 +2 - (k+1)(k+2)/2 =(k-2)(k+1)/ 2 > 0
若 k>2，则上式恒成立。
k = 1时
2(2^k-1) >k(k+1)/2
k = 2时
2(2^k-1) = 6
k(k+1)/2 = 3
2(2^k-1) >k(k+1)/2
综上，2）的命题成立。
其推广形式是
2^（k+2）> k(k+1)+4
当k>0时成立