Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x^2-3x+3。Ⅰ、求f(x)的表达式。Ⅱ、

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x^2-3x+3。Ⅰ、求f(x)的表达式。Ⅱ、若关于x的不等式f(x) ≤nx-1的解集非空，求实数n的取值集合A；Ⅲ、若关于x的方程f(x)=nx-1的两根为x1,x2,试问：是否存在实数m,使得不等式m^2+tm+1≤∣x1-x2∣对任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立？若存在求出m的取值范围；若不存在说明理由。

Answer 1

计算太麻烦了，先帮你解第一题吧。后面应该都好做的。
解：由x-1≤f(x)≤x^2-3x+3，画出y=x-1与y=x^2-3x+3图像，可知两者相切，切点为（2,1）点。则f(x)必与y=x-1与y=x^2-3x+3相切于(2,1)点。
由此解出函数解析式：y=(2/9)x^2+(1/9)x-1/9
第二题直接变成2x^2+(1-9n)x+8≤0形式，然后让方程2x^2+(1-9n)x+8=0有实数根即可。
第三题，将∣x1-x2∣=√【(x1+x2)^2-4x1x2】，利用韦达定理带入数值，利用n∈A作出∣x1-x2∣的取值范围。然后将m^2+tm+1的值域小于此范围即可。
验算了一下，觉得解析式是正确无误的。楼下的wbamboo老兄貌似解析式解错了。后面两小题你按照我给你的思路解应该没问题。

Answer 2

近16年不摸高中数学了，尝试做了一下，不一定正确，仅供参考。
1、①f(-1)=a-b+c=0;1≤f(2)=4a+2b+c≤1,故f(2)=4a+2b+c=1;由这两个等式可以得到3a+3b=1,即a+b=1/3。
②函数x-1与函数x^2-3x+3在点(2,1)处相切交，而x-1≤f(x)≤x^2-3x+3，所以f(x)也过点(2,1)，且三个函数仅在此点相切交。
③f'(x)=2ax+b,f'(2)=4a+b为切线斜率，x-1为切线，斜率为1,4a+b＝1。
④由a+b=1/3，4a+b＝1解得a=2/9，b=1/9;由a-b+c=0解得c=-1/9
f(x)=(2/9)x^2+(1/9)x-1/9
2、f(x) ≤nx-1，即(2/9)x^2+(1/9)x-1/9≤nx-1,2x^2+(1-9n)x+8≤0,Δ=81n^2-18n-63≥0,解得n≥1或n≤-7/9
3、f(x)=nx-1，n=1时,2x^2+(1-9n)x+8=0,x1+x2=2/(9n-1),x1x2=4,|x1-x2|=根号下(x1+x2)2-4x1x2=根号下(2/(9n-1))^2-16，根号有意思，n有范围，再试求m范围