Question

椭圆G：x^2/a^2+y^2/b=1(a>b>0)的两个焦点F1（-c,o）F2(c,o)，M是椭圆上的一点，且满足向量F1M*F2M=0

<1>求离心率取值范围
<2>若椭圆G：x^2/36+y^2/16=1 斜率K不等于0 的直线L与椭圆G交于不同两点A.B Q为AB中点,问A.B两点是否关于P(0, -(根号3)/3),Q的直线对称,能,求出K范围 不能,说明理由

Answer 1

设椭圆上的一点M为(x,y),又因M在椭圆上，所以可以把y换成含有x的代数式，即M(x,[b√(a^2-x^2)]/a)。
所以F1M=(x+c,[b√(a^2-x^2)]/a);
MF2=(c-x,-[b√(a^2-x^2)]/a);
又因根据条件：F1M*F2M=0 。
所以即：（x+c）*（c-x）-{[b√(a^2-x^2)]/a*[b√(a^2-x^2)]/a}=0(向量知识)
划简出来得：x^2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)
又因M在椭圆上，所以x有取值范围，即-a=<x=<a,
所以0=<x^2=<a^2
所以即：0=<(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=<a^2
先算(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)>=0
在划简过程中把b^2换成a^2-c^2(椭圆性质）
最后得：2c^2-a^2>=0
同除a^2,为2*(c/a)^2-1>=0
即e^2>=1/2,所以e>=√2/2,e<=-√2/2(舍去）
再算(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=<a^2
同样在划简过程中把b^2换成a^2-c^2
最后算的e^2<=1 ,即0<e<1(椭圆e是在(0,1))
所以e的范围取交集，即√2/2 =<e<1

Answer 2

第一题 e大于根号2∕2，小于1