Question

高二数学问题。

1.动点A.B在直线X=-1上移动，设P(-4,0),∠APB=60°,则△APB外心的轨迹是。。。。
2.已知二面角a-l-b大小为50°，P为空间中任意一点，则过P且与平面a和平面b成角为25°的直线条数为.....

1.双曲线左指。
2.3

求解释。

Answer 1

设外心为O
因为∠APB=60°
所以，∠AOB=120°
又因为AO=OB=△APB外接圆半径R
所以，O到直线AB的距离OD=Rsin30°=R/2
又因为OP=R
所以，OP/OD=2
故三角形外心O满足到点P的距离为到直线AB的2倍，
所以O点的轨迹为以P为焦点，x=-1为准线，离心率为2的双曲线左支。

2，先要建立一个概念，
如果平面a'与平面a平行，那么过点P的直线与平面a所成的角就等于它与平面a'所成的角
这个很容易证明，也就是，一条直线与两个相互平行的平面所成的夹角相等。
这也算是基本定理。
所以，过点P做平面a'‖平面a；平面b'‖平面b
可知，P在平面a'和平面b'的交线l'上，
可以看出，过点P在a'-l'-b'成50°的那个区域，与两平面各成25°的直线有一条，
而在a'-l'-b'成角的另一面，即为180-50=130这个余角区域内，有两条。
故共有三条。
这类题其实就是看过二面角交线上一点，作与两平面成一定夹角的直线共有几条。
你用作图可以很容易看出来。它有一般规律。
设二面角为x,0<x<90°要求与平面成的角为y的直线的条数，则
若x>2y,有四条；若x=2y，有三条
x<2y<180°-x，有两条;若2y=180°-x，有一条。2y>180°-x，则无解。
若2y=x=180°-x,即x=90，y=45时为两条。