Question

若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2根号2，则直线l的倾斜角的取值范围是

Answer 1

x2+y2-4x-4y-10=0, ∴(x-2)2+(y-2)2=18,圆心为A(2,2),半径为3√2,OA倾斜角为45°
圆上至少有三个不同点到直线距离为2√2, ∴圆心A(2,2)到直线l的距离不大于3√2-2√2=√2
取距离恰为√2的形式,作AH⊥l于H,l过O, AH=√2, OA=2√2
∴∠AOH=30°(直角三角形中所对边是斜边一半的角是30°)
∴l倾斜角=45°±∠AOH=15°或75°
即倾斜角范围为[π/12,5π/12]

Answer 2

画图猜测。
三种情况
1，园外，
2，切线
3，园内，（过圆心，不过圆心）
结果只有第三种情况，不过圆心时，成立

Answer 3

x2+y2-4x-4y-10=0, ∴(x-2)2+(y-2)2=18,圆心为A(2,2),半径为3√2,OA倾斜角为45°

圆上至少有三个不同点到直线距离为2√2, ∴圆心A(2,2)到直线l的距离不大于3√2-2√2=√2

取距离恰为√2的形式,作AH⊥l于H,l过O, AH=√2, OA=2√2

∴∠AOH=30°(直角三角形中所对边是斜边一半的角是30°)

∴l倾斜角=45°±∠AOH=15°或75°

即倾斜角范围为[π/12,5π/12]
圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三点到直线ax+by=0距离为 2倍根号2 求直线斜率
如果圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三点到直线ax+by=0距离为 2倍根号2 求直线斜率的取值范围若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有3个不同的点到直线l:ax+by=o 的距离为2√2 求直线l的倾斜角取值范围。
解析：
将圆方程配方化为圆心式：
(x-2)^2+(y-2)^2=18, 圆心为(2,2)设为点P，半径为3√2
直线ax+by=0，可变形为y=-a/b*x为一条过原点O的直线
画图，易见因为原点O在圆的内部，所以直线与圆相交，设两个交点为A、B。
圆上至少有3个不同的点到直线的距离为2√2，过P做AB的垂线交AB于C，交AB对应劣弧于D，即要求CD≥2√2，
易得OP的倾角为π/4
先讨论l倾角大于π/4的情况，此时弦AB位于P左侧，
当CD=2√2时，PC=PD-CD=3√2-2√2=√2
OP为定值2√2，所以sin∠COP=PC/OP=1/2,所以∠COP=π/6
此时l的倾角为π/4+π/6=5π/12
同理，当l倾角小于π/4，CD=2√2时，l的倾角为π/4-π/6=π/12
所以直线l的倾角范围为[π/12,5π/12]

Answer 4

圆x2＋y2－4x－4y－10＝0
即(x-2)²+(y-2)²=18
圆心C(2,2),半径r=3√2
圆上至少有三个点到直线ax＋by＝0
的距离为2√2
那么圆心C到直线的距离≤√2
即|2a+2b|/√(a²+b²)≤√2
∴（2a+2b)²≤2(a²+b²)
∴a²+b²+4ab≤0
∴(a/b)²+4(a/b)+1≤0
∴-2-√3≤a/b≤-2+√3
∴直线斜率k=-a/b
∴tan15º=2-√3≤k≤2+√3=tan75º
∴倾斜角范围是[15º,75º]