Question

高二数学题 急！！！

用数学归纳法证明
X^(2n+1)+Y^(2n-1) 能被 X+Y 整除

Answer 1

(1) n=1时 原式=x+y 显然能被x+y整除
(2) 设n=k时结论成立 则x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x=y整除
(3) 当n=k+1时
原式=x^[2(k+1)-1]+y^[2(k+1)-1]
=x^(2k+1)+y(2k+1)
=x^(2k-1)*x^2+y^(2k-1)*y^2
=x^(2k-1)*x^2-x^(2k-1)*y^2+x^(2k-1)*y^2+y^(2k-1)*y^2
=[x^(2k-1)*x^2-x^(2k-1)*y^2]+[x^(2k-1)*y^2+y^(2k-1)*y^2]
=[x^(2k-1)*(x^2-y^2)]+{[x^(2k-1)+y^(2k-1)]*y^2}
=[x^(2k-1)*(x+y)*(x-y)]+{[x^(2k-1)+y^(2k-1)]*y^2}

x^(2k-1)*(x+y)*(x-y)显然能被x+y整除
由(2)知[x^(2k-1)+y^(2k-1)]*y^2能被x+y整除
所以它们的和一定能被x+y整除

所以n=k+1时成立

Answer 2

当X=Y=2，n=1时，X^(2n+1)+Y^(2n-1)=8+2=10，X+Y=4，10不能被4整除。
故命题不成立。

Answer 3

(1)n=1时候
x^3+y 能被 X+Y 整除
(2)设k,k+1属于 N集合
f(k)=X^(2k+1)+Y^(2k-1)
f(k+1)=X^(2(k+1)+1)+Y^(2(k+1)-1)= X^(2k+3)+Y^(2k+1)
f(k+1)/f(k)=X^(2k+3)+Y^(2k+1)/X^(2k+1)+Y^(2k-1) 能被X+Y 整除

所以，X^(2n+1)+Y^(2n-1) 能被 X+Y 整除