Question

一道高二数学题目。关于抛物线，直线问题的。

已知抛物线C：y²=4x的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线L与抛物线C交于A、B两点（A在M、B之间）。
（1）F为抛物线C的焦点，若AM=5/4AF，求k的值、
（2）如果抛物线C上总存在一点Q，使得QA垂直QB，试求k的取值范围。

谢谢。

Answer 1

解（Ⅰ）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，由抛物线的定义知|AM|=54d，∴cosα=d|AM|=45，则sinα= 1-cos2α= 1-( 45)2=35，∴k=±tanα=±sinαcosα=±3545=±34．（Ⅱ）存在k，k的取值范围为[- 55，0)∪(0， 55]，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB．事实上，假设存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，设点Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立 y2=2pxy=k(x+p2) ，得ky2-2py+p2k=0．则 k≠04p2-4k2p2＞0 ，得：-1＜k＜1且k≠0．y1+y2=2pk，y1y2=p2．又Q、A、B三点在抛物线上，所以x0=y022p，x1=y122p，x2=y222p则kQA=y0-y1x0-x1=y0-y1y022p-y122p=2py0+y1．同理kQB=2py0+y2．由QA⊥QB得：2py0+y1•2py0+y2=-1，即y02+y0(y1+y2)+y1y2=-4p2．∴y02+2pk+p2=-4p2，即ky02+2py0+5kp2=0．△=4p2-20k2p2≥0，解得- 55≤k≤ 55，又-1＜k＜1且k≠0．所以k的取值范围为[- 55，0)∪(0， 55]．