Question

已知函数f(x)对于任意x，y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2/3。

（1）求证：f(x)在R上是减函数；
（2）求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值。

Answer 1

（1）证明：取X1∈R，则(X1+1)∈R，且X1+1>X1
则f(X1+1)-f(X1)=f(X1)+f(1)-f(X1)=f(1)=-2/3<0
即当X1+1>X1时，f(X1+1)<f(X1)
所以f(X)在R上是减函数
（2）解：因为f(x)在R上是减函数
所以f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，f(x)在[-3，3]上的最小值是f(3)
因为总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令y=0，则可知f(0)=0
又令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(0)=0，即f(x)=-f(-x)
由题意可知，f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2，即f(x)的最小值等于-2
f(-3)=-f(3)=2，即f(x)的最大值等于2

Answer 2

（1）证明：取X1∈R，则(X1+1)∈R，且X1+1>X1
则f(X1+1)-f(X1)=f(X1)+f(1)-f(X1)=f(1)=-2/3<0
即当X1+1>X1时，f(X1+1)<f(X1)
所以f(X)在R上是减函数
（2）解：因为f(x)在R上是减函数
所以f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，f(x)在[-3，3]上的最小值是f(3)
因为总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令y=0，则可知f(0)=0
又令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(0)=0，即f(x)=-f(-x)
由题意可知，f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2，即f(x)的最小值等于-2
f(-3)=-f(3)=2，即f(x)的最大值等于2