Question

设0≤x≤2,求函数y=4^x-1/2-a*2^x+a^2/2+1的最大值和最小值

Answer 1

y=4^x-1/2-a*2^x+a^2/2+1
=1/2(2^x)^2-a*2^x+a^2/2+1
令t=2^x,t∈［1,4］
f(t)=1/2*t^2-at+a^2/2+1
=1/2(t-a)^2+1
若 a>4,原函数在［0，2］上单调递减
则最大值为x=0时,y=(1/2)(1-a)^2+1
最小值为x=2时,y=(1/2)(4-a)^2+1

若a<1
则最大值为x=2时,y=(1/2)(4-a)^2+1
最小值为x=0时,y=(1/2)(1-a)^2+1
若1<=a<=2.5
当t=a时 ，取得最小值y=1；
当t=1时，取得最大值y=y=(1/2)(1-a)^2+1
若2.5<=a<=4时
当t=4时 取得最大值y=(1/2)(4-a)^2+1
当t=2.5时，取得最小值y=(1/2)(2.5-a）^2+1