Question

在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长,已知√2sinA=√3cosA

⑴若a²-c²=b²-mbc,求实数m的值;
⑵若a=√3,求△ABC面积的最大值

求详细过程
谢谢了

Answer 1

√2sinA=√(3cosA)
两边平方得，2sin^2 A=3cosA [^2指平方]
2(1-cos^2 A)=3cosA
2-2cos^2 A=3cosA
2cos^2 A+3cosA-2=0
(cosA+2)(2cosA-1)=0
cosA= -2(cosA永远不会小于-1，舍去)或cosA=1/2 于是A=60度
所以(1) a^2-c^2=b^2-mbc 则b^2+c^2-a^2=mbc
根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=mbc/2bc=m/2
根据上边的推理，可知m=1
(2)sinA=sin60度=√3/2
根据正弦定理 b=asinB/sinA=√3sinB/(√3/2)=2sinB c=asinC/sinA=2sinC
于是S(ABC)=1/2*bc*sinA
=1/2*2sinB*2sinC*(√3/2)=√3sinBsinC
=√3*{(1/2)[cos(B-C)-cos(B+C)]} [积化和差]
=√3/2*[cos(B-C)-cos(B+C)]
=√3/2*[cos(B-C)-cos(180-A)]
=√3/2*[cos(B-C)+cosA]
=√3/2*cos(B-C)+√3/2*cos60度
=√3/4+√3/2*cos(B-C)
由于当B-C=0时，cos(B-C)达到最大值1，于是当B=C(=60度)时，即ABC是正三角形时，
三角形ABC的面积达到最大
这个最大值是√3/4+√3/2=(3√3)/4