Question

如图2,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别是S1、S2、S3，那三个半圆的面积关系？证

2.如图2,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别是S1、S2、S3，那三个半圆的面积关系？证明

1.若分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正三角形如图3，其面积分别用S1、S2、S3表示，试确定S1、S2、S3之间的关系并证明。

要详细过程

Answer 1

虽然无图，不妨假设三角形ABC中，三个角A、B、C所对的边依次为a、b、c。其中a、b为两直角边，c为斜边。且a、b、c所在图形面积分别为S1，S2，S3.
1.对于半圆的情况，S1=1/2π（a/2）^2
S2=1/2π（b/2）^2
S3=1/2π（c/2）^2
所以S1:S2:S3=a^2:b^2:c^2
或者，由于三角形ABC为直角三角形，所以a^2+ b^2= c^2，
于是S1+S2=S3
2.对于等边三角形，S1=1/2*a*acos60°=1/2cos60°*a^2（用任意三角形面积公式，或者作三角形的高为辅助线来计算面积都可以）
S2=1/2cos60°*b^2
S3=1/2cos60°*c^2
于是也有S1:S2:S3=a^2:b^2:c^2
S1+S2=S3

所以，S1、S2、S3之间的关系就是S1:S2:S3=a^2:b^2:c^2或者S1+S2=S3
（根据具体情况来看选择哪个结果，估计一般是后者的概率比较大）

Answer 2

解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2
（1）S1=S2+S3；
（2）S1=S2+S3．证明如下：
显然，S1=，S2=，S3=
∴S2+S3==S1；
（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：
∵所作三个三角形相似
∴
∴=1
∴S1=S2+S3；

（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．