Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M，m，集合A={X/f(x)=x}.

若A={2}，且a>=1，记g(a)=M+m，求g(a)的最小值。
求解啊！！谢谢啊！！

Answer 1

解：f(x)=ax²＋bx＋c=x只有一个解x=2
则f(x)-x=a(x-2)² 即:二次函数顶点在(2,2)
所以f(x)=a(x-2)²+x=ax²-(4a-1)x+4a
对称轴为直线x=(4a-1)/(2a)=2 - 1/(2a)
由于a≥1,所以1/(2a)∈(0,1/2],
对称轴x=2 - 1/(2a)∈[3/2,2)
二次函数f(x)开口向上，
所以在区间[-2,2]上的最大值M=f(-2)=16a-2
最小值m=f[2 - 1/(2a)]=……=2-1/(4a)
所以g(a)=M-m=16a-2-2+1/(4a)=16a+1/(4a) -4
易证当a≥1时，g(a)为增函数，所以g(a)的最小值为g(1)=16+1/4 -4=47/4