Question

已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在(0,1)内是增函数,(1)求实数a的取值范围

(2)若数列{an}满足a1属于(0,1).a(n+1)=ln(2-an)+an,求证0<an<a(n+1)<1
(3)若数列{bn}满足,b1属于(0,1),b(n+1)=ln(2-bn)+bn,问数列是否是单调数列
不用导数知识怎么做?

Answer 1

2)由已知当n＝1时，a1∈(0，1)，
假设，当n＝k时，有ak∈(0，1)，
那么，当n＝k＋1时，有ak＋1＝ln(2－ak)＋ak＞0，
并且，由第一问f(x)＝ln(2－x)＋x在(0，1)上单调递增，
知ak＋1＝ln(2－ak)＋ak＜1，
综上，an∈(0，1)(n∈N＊)，
又an＋1－an＝ln(2－an)＞0，
所以，0＜an＜an＋1＜1。
3)数列{bn}不满足bn＞bn－1，或bn＜bn＋1(n∈N＊)，

所以b2∈(1，2)，于是b2＞b1，
又因为1＜b2＜2，0＜2－b2＜1，
所以ln(2－b2)＜0，
所以b3＝2ln(2－b2)＋b2＜b2，
由此，数列{bn}不满足bn＞bn－1，或bn＜bn＋1(n∈N＊)。

 

望采纳