Question

高二数列题!!!!!!!

已知数列{an}中,a1=3/16 ,an=3/8+(an-1^2)/2 [n-1是下标]
其中n大于等于2
(1)求证0<an<1/2
(2)求证对于一切自然数n都有an<an+1成立
请写清楚过程,不要给我答案,谢谢.
可以用数学归纳法

Answer 1

学过“数学归纳法”没有？你如果学过我就可以给你证明
1)0<a(n)太显然了，你自己可以证
现证a(n)<1/2
设a(k)<1/2,k是正整数，则
a(k+1)=3/8+(a(k)^2)/2<3/8+((1/2)^2)/2=1/2,又因为k=1时，a(k)=3/16<1/2,
所以a(n)<1/2
2)a(n+1)-a(n)=3/8+(a(n)^2)/2 - a(n)=((a(n)-1)^2)/2-1/8
因为0<a(n)<1/2,所以-1<a(n)-1<-1/2,所以1/4<(a(n)-1)^2<1,所以0<((a(n)-1)^2)/2-1/8<3/8,
所以0<a(n+1)-a(n)<3/8,则a(n)<a(n+1)