Question

一道强大的物理竞赛题

在一个置于水平面上的表面光滑的半径为R的半圆柱面上,置有一条长为的均匀链条,链条的质量为m,其两端刚好分别与两侧的水平面相接触,求此链中张力的最大值为多少？
最好用力的平衡，力矩平衡，能的转化和守恒3个方法解，辛苦各位大虾啦
复制粘贴不好吧，能给一点解释么？
微积分的倒是挺方便的，但我觉得用高中竞赛的方法解要好一些

Answer 1

链中的张力是由于链受重力作用而产生的。由于对称，链位于圆柱面两侧的对称位置处的张力应该相等。取链中的任意一小段来考察，则其受到上下两端的的张力的差值就等于这小段的重力沿此段切线方向的分量，且此小段上端的张力较大，由此可见链内越接近于圆柱最高点处其张力值越大。则圆柱的最高点处链内的张力最大，且链的最下端处的张力为零。根据物体的平衡条件，以上述假设的水平力F牵引着的右侧半条链为研究对象，则它所受的全部外力对它的合力矩应为零。此时这半条链受到的力有水平拉力F，自己的重力和柱面对它的弹力，取柱截面的圆O为转轴来研究各力对O的力矩。显然，F对O的力矩MF大小为MF=F·R，弹力对这半条链产生的对O点力矩MN=O。再令图中△li的重力对O点产生的力矩为△Mi，其重力△mig的力臂为Rcos ，则△Mi=△mig·Rcosθi= △ RCos =Rg △ ，其中 为线密度， = 。MG= =g R2，从而F=g
该题为竞赛训练题，可用力的平衡来解，可用能的转化和守恒关系来解，相对而言，用力矩平衡来解显得独辟蹊径，技巧性强

Answer 2

我只会微积分啊。看图，在中部F点切开，右边的一微段的重力的在链条轴线上的分量，就是一个微张力。沿长度的积分就是张力了。张力为mg/π

Answer 3

链中的张力是由于链受重力作用而产生的。由于对称，链位于圆柱面两侧的对称位置处的张力应该相等。取链中的任意一小段来考察，则其受到上下两端的的张力的差值就等于这小段的重力沿此段切线方向的分量，且此小段上端的张力较大，由此可见链内越接近于圆柱最高点处其张力值越大。
然后用虚功法解决。假想张力T沿力的方向 缓慢发生一段小位移Δx，由功能原理得：TΔx=ΔmgR 而Δm=mΔx/(2πR) 所以T=mg/π