Question

设a1=3的平方-1的平方a2=5的平方-3的平方，。。。a的n次方=(2n+1)的平方-(2n-1)的平方（n为大于0的自然数)

(1)探究An是不是为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论（2）若以个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”试找出a1，a2,...an,...这一列数中从小到大排列的前四个 完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为 完全平方数。（不必说出理由）

Answer 1

An=（2n+1）²—（2n-1）²=（2n+1-2n+1）（4n）=8n
因为n为大于0的自然数，所以An是8的倍数
因为An=8n，说以当n=8,8*4，8*9，8*16时都是完全平方数
即：64,256,576,1024
当n=8*m²（m=1,2,3,4,5,6.......）是皆成立

Answer 2

设a1=32-12，a2=52-32，…，an=（2n+1）2-（2n-1）2（n为大于0的自然数）．
（1）探究an是否为8的倍数，并用文字表述出你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，例如：1，4，9，16，…，是“完全平方数”．试写出a1，a2，a3，…，an，这一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．考点：平方差公式；算术平方根．专题：规律型．分析：（1）将an的表达式根据平方差公式计算出来，看是否是8的倍数．
（2） an= 8n=2 2n，根据该式依次列出所需的完全平方数即可．解答：解：（1）根据平方差公式计算an=（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=8n，
故an是8的倍数．

（2）设a=2b（b为大于0的自然数）
则an=8n=22n，所以当n分别取2、8、18、32时得到一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．
n=2时，an=16，
n=8时，an=64，
n=18时，an=144，
n=32时，an=256，
所以列数中从小到大排列的前4个“完全平方

Answer 3

An=(2n+1)^2=(2n-1)^2=8n=4×2n
An要是“完全平方数”
即2n是“完全平方数”
则n是某“完全平方数”的2倍
n=2k^2
当k=1时，n=2，A2=4×2×2=4^2
当k=2时，n=8，A8=4×2×8=8^2
当k=3时，n=18，A18=4×2×18=12^2
当k=4时，n=32，A32=4×2×32=16^2

Answer 4

（1）∵an=（2n+1）2-（2n-1）2=8n，n为非零的自然数
∴an是8的倍数；
文字语言：两个连续奇数的平方差是8的倍数；
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数是16，64，144，256；
n为一个完全平方数的2倍（或）时，an为完全平方数．