Question

高一数学平面向量

已知函数f(x)=√3·sin(ωx+ψ)－cos(ωx+ψ)(0<ψ，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为π/2。
①求f(π/8)的值，
②将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位后，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间。

Answer 1

f(x)=√3·sin(ωx+ψ)－cos(ωx+ψ)
=2(√3·sin(ωx+ψ)／2－cos(ωx+ψ)／2)
=2cos30°sin(ωx+ψ)－sin30°cos(ωx+ψ)
=2sin(ωx+ψ-π/6)
两相邻对称轴间的距离为π/2，即半周期，（ω>0)
故ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+ψ-π/6)
是偶函数，则f（-x）=f（x），
2sin(2x+ψ-π/6)=2sin(-2x+ψ-π/6)，（0<ψ）
故ψ=π/6+nπ，（n∈R）
所以f(x)=2sin(2x+nπ)

①f(π/8)=2sin(2π/8+nπ)
=±√2，
②y=g(x)=2sin(2x+nπ-π/6)