Question

高二数学圆锥曲线问题

已知F1、F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点作角F1QF2外角平分线的垂线，垂足为P,则P的轨迹是？为什么？

Answer 1

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，焦点在x轴上。
不妨过F1作垂线，延长F1P,F2Q到R
∵PQ平分∠RQF1，QP⊥RF1
∴P是RF1中点，RQ=QF1
∵RF2=RQ+QF2=QF1+QF2=2a
∴R在以F2为圆心2a为半径的圆上，R:（x-c）²+y²=（2a）²
设P（x，y）则R(2x+c，2y) 代入得，P:x²+y²=a²
所以P的轨迹是以原点为圆心，椭圆半长轴为半径的圆

Answer 2

解：点P的轨迹是以坐标原点为圆心，半长轴为半径的圆。结合图形分析推导便知