Question

一道函数题

已知f（x）=x^2-alnx在(1,2]上是增函数，g（x）=x-ax^?在（0,1）上是减函数。
（1）求f(x)，g(x)的表达式
（2）求证当x>0时，方程f(x)=g(x)+2有唯一解
（3）当b>-1时，若f(x)≥2bx-1/x^2在x∈(0,1]上恒成立，求b的取值范围

Answer 1

解：1.∵f（x）=x^2-alnx在(1,2]上是增函数，g（x）=x-a√x在（0,1）上是减函数
∴f′(x)≥0在(1,2]，g′(x)≤0在(0,1)上恒成立
∵f′(x)=2x-a/x=(2x^2-ax)/x g′(x)=1-a/2√x=(2√x-a)/2√x ∵f′(x)≥0在(1,2]，g′(x)≤0在(0,1)上恒成立,∴2x^2-ax≥0在(1,2]上恒成立，即a≤2x ∴a≤2xmin=2 ∴2√ x-a≤0恒成立，即a≥2√x ∴a≥2√xmax=2 ∴a=2
故f(x)=x^2-2lnx g(x)=x-2√x
2.证：不妨设F（x）=f(x)-g(x)-2 则F′(x)=x^2-2/x-1+1/√x=(2x^2-x+√x-2)/√x 设√x=t 则有F′(x)=（2t^4-t^2+t-2）/t= [ (t-1)(2t^3+2t^2+t+2) ]/t ∵ t>0 显然F′(x)在（0,1）上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，由于x=1是F（x）的唯一极值点，故F(x)min=F(1)=f(1)-g(1)-2=1+1-2=0 ∴F(x)在（0，+∞）上有且只有一个零点，即当x>0时，方程f(x)=g(x)+2有唯一解
3.∵当b>-1时，若f(x)≥2bx-1/x^2在x∈(0,1]上恒成立，x>0,∴分离b后得b≤x/2-lnx/x+1/2x^3设w(x)= x/2-lnx/x+1/2x^3 则w′(x)= =(x^4-2x^2+2x^2lnx-3)/2x^4 设h(x)= x^4-2x^2+2x^2lnx-3=(x^4-3)+2x^2(lnx-1) 显然x^4-3在(0,1] 上<0恒成立，2x^2(lnx-1)在(0,1]上<0亦是恒成立，故h(x)在(0,1]上<0恒成立 ∴w′(x)在(0,1] 上<0恒成立，即w(x) 在（0,1]上单减，∵b≤x/2-lnx/x+1/2x^3在(0,1]上恒成立，即b≤w(x)min=w（1）=1 ∴b∈(-1,1]