Question

问一个十分简单的不等式

|(x+2)(x-2)|≤|(x+2)2|=|(x-2+4)2|≤m(m＞0)
能推出|x-2|≤|-4+√m|吗？
那能推出关于|x-2|的结论是什么呢?

Answer 1

修改版：
题目应该是|(x+2)(x-2)|≤|(x+2)^2|=|(x-2+4)^2|≤m(m＞0)吧
不能。
举个例子：
当x=1，m=16时，上式成立1≤|9≤16=m。
但是，|x-2|=1 而|-4+√m|=0，所以|x-2|<|-4+√m|.
所以|(x+2)(x-2)|≤|(x+2)2|=|(x-2+4)2|≤m(m＞0) 不能推出|x-2|≤|-4+√m|。
那我们能得到什么结论呢？
由|(x+2)(x-2)|≤|(x+2)^2| 我们可以得到x=-2 或者x≥0.
所以从|(x-2+4)^2|≤m 可以得到
当x=-2时， m≥0
当x≥0时，m≥4.
而关于|x-2|，可以得到|x-2|≤|4+√m|