Question

数学空间几何二面角问题

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=根号2，DC=SD=2,点M在侧棱SC上，角ABM=60°。
1. 证明：M是侧棱SC的中点。
2. 求二面角S-AM-B的余弦值。
恩，最好能讲一下二面角怎么求的。谢谢啦。

Answer 1

解：
1、证明：
以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为坐标x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系。则易得各点坐标：B(根号2,2,0），A（根号2,0,0）；设M（0，y，z）。
则：向量BM=(负根号2，y-2，z），向量BA=（0，-2，0），所以（向量BM)•(向量BA)=4-2y=根号[2+(y-2)²+z²]。又点M在直线SC上，而直线SC方程为：z=2-y。
所以联立4-2y=根号[2+(y-2)²+z²]和z=2-y，解得y=1或y=3。又因为M在线段SC上，即y≤2。所以y=1，所以z=1，所以点M坐标为（0,1,1）。
又因为点S坐标为（0,0,2），点C坐标为（0,2,0），所以易得M为SC中点。
原题得证。

2、 连结AM，作BP垂直于AM于点P。因为上题已证点M为SC中点，所以易得BM=2，又角ABM=60°，所以三角形ABM为等边三角形。所以点P为AM中点且BP=根号3。
在SA上作一点Q，使连线QP垂直AM于P。则根据定义，角QPB即为二面角S-AM-B的平面角。
连结AC、QB。因为SA=AC=根号6，且点M为SC中点，所以AM垂直于SC，即三角形SMA为直角三角形。又点P为AM中点，所以根据相似关系，易得QP=0.5*SM=0.5*根号2，QB=0.5*根号22。所以根据余弦定理可得：cos角SMA=（-根号6）/3。

其实求二面角就是靠定义，根据定义找出二面角后一般都比较好求的，难一点的还可以用向量法。建议你去百度百科查一下二面角，里面的信息很详细，希望对你有帮助。