Question

请教数学高手

如图，一个等边三角形里面插入无数个圆。一个接一个，求圆的面积占了三角形面积的比例

Answer 1

三角形边长为a,那么中线长是（根3）a/2.
其内切圆的半径是1/3中线长。
然后第二次插入的小圆的半径是三角形1/3中线长的1/3.
第三次插入的小圆的半径是三角形1/3中线长的1/3的1/3...
....
....
以此类推，最后所有圆的面积是Pi*a*a*3/4*[(1/3)^2+(1/3*1/3)^2+........((1/3)^n)^2]
括号里面是个等比数列，a1=(1/3)^2 , q=(1/3)^2,自己拿等比数列求和公式算一下就得面积。
然后和三角形的面积比一下就好。

Answer 2

【解】
1) 设等边三角形边长为2，则三角形面积为√3。
2) 接下来求圆面积。
从三个顶点分别向对边作垂线，交点为第一个大圆圆心，即等边三角形的外心+内心。
由此可求得第一个大圆半径为1/√3，∴面积S1=π/3
第二层小圆半径为第一个大圆的1/3，即1/3√3，∴三个小圆面积S2=3×π/27=π/9
第三层小圆半径为第二层小圆的1/3，==> S3=S2/9=π/81
第四层小圆半径为第三层小圆的1/3，==> S4=S3/9=π/729
……（以后各层小圆面积均以1/9的比例无穷缩小下去……）
∴圆的总面积S=S1+S2+S3+……
=π/3+π/9+π/81+π/729+……
=π/3+π(1/9+1/81+1/729+……)
=π/3+π[1/9÷(1-1/9)]
=π/3+π/8
=11π/24
∴圆面积占三角形面积的比例为 11π/24 / √3 = 11π/24√3
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注：三角形边长设为2是为了数字简单方便计算。
当然也可以设为一般的x或是a，这样计算过程中的数字会稍为繁琐一些而已。

Answer 3

5pai:12倍根号3