Question

在圆M中,弧AB所对的圆心角为120°。已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的坐标系 (1

如图，在圆M中，弧AB所对的圆心角为120度，已知圆的半径为2CM，并建立如图所示的直角坐标系。

问题：

1 求圆心M的坐标

2 求经过ABC三点的抛物线解析式

3 点D是弧AB所对优弧上的一动点，求四边形ACBD的最大面积。
4.在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使△PAB和△ABC相似？求出点P的坐标

Answer 1

解：（1）如图（1），
连接MA、MB，
则∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．（2分）
∴OM= 12MB=1，
∴M（0，1）．（3分）

（2）由A，B，C三点的特殊性与对称性，知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c．（4分）
∵OC=MC-MO=1，OB= MB2-OM2=3，
∴C（0，-1），B（ 3，0）．（5分）
∴c=-1，a= 13．
∴y= 13x2-1．（6分）

（3）∵S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD，又S△ABC与AB均为定值，（7分）
∴当△ABD边AB上的高最大时，S△ABD最大，此时点D为⊙M与y轴的交点，如图（1）．（8分）
∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD= 12AB?OC+ 12AB?OD
= 12AB?CD
=4 3cm2．（9分）

（4）方法1：
如图（2），
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=30°， ABBC=3，
∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°，PB=AB=2 3，PA= 3PB=6．（10分）
设P（x，y）且x＞0，则x=PA?cos30°-AO=3 3- 3=2 3，y=PA?sin30°=3．（11分）
又∵P（2 3，3）的坐标满足y= 13x2-1，
∴在抛物线y= 13x2-1上，存在点P（2 3，3），
使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2 3，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2 3，3）或（-2 3，3）．（12分）
说明：只要求出（2 3，3），（-2 3，3），无最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
如图（3），
当△ABC∽△PAB时，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴点P在直线AM上．
设直线AM的解析式为y=kx+b，
将A（- 3，0），M（0，1）代入，
解得 {k=33b=1，
∴直线AM的解析式为y= 33x+1．（10分）
解方程组 {y=33x+1y=13x2-1，
得P（2 3，3）．（11分）
又∵ tan∠PBx=323-3=3，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在抛物线y= 13x2-1上，存在点（2 3，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2 3，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2 3，3）或（-2 3，3）．（12分）
方法3：
如图（3），
∵△ABC为等腰三角形，且 ABBC=3，
设P（x，y），则△ABC∽△PAB等价于PB=AB=2 3，PA= 3AB=6．（10分）
当x＞0时，得 {(x-3)2+y2=23(x+3)2+y2=6，
解得P（2 3，3）．（11分）
又∵P（2 3，3）的坐标满足y= 13x2-1，
∴在抛物线y= 13x2-1上，存在点P（2 3，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2 3，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2 3，3）或（-2 3，3）．（12分）