Question

已知在三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B所对,C的边，向量m=(cosA,sinA),n=(cosB,sinB),mn=根号3sinB-cosC。

求角A的大小；若a=3，求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

mn=(cosA,sinA)(cosB,sinB)=cosAcosB+sinAsinB=√3sinB-cosC
cosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB
所以，2sinAsinB=√3sinB
sinA=√3/2
要使三角形面积大，A应该是锐角。（证明见下）
cosA=1/2
余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA
9=b^2+c^2-bc≥2bc-bc=bc
所以bc≤9
面积S=1/2bcsinA=√3/4bc≤9√3/4

为什么说A是锐角，
假设A是钝角，cosA=-1/2
带入余弦定理后，9=b^2+c^2+bc≥3bc，bc≤3，到这里就明显看出来了吧
还有就是直观上，最大边对应最大角，要使A是钝角了，最大边也就是a=3了，面积也就跟着前途不大了。