Question

数学题：设已知抛物线方程为X2=2py，设过M（2，-2p）引抛物线带的切线，切点分别为A,B,|AB|=4√10，求抛物

求简单解法，过程详细点，谢谢！

Answer 1

分析：设A(x1,y1)B(x2,y2),又曲线x^2=2py上任意一点斜率（求导）为y'=x/p,则易得分别过A,B的切线方程：y=(x1/p)(x-x1)+y1,y=(x2/p)(x-x2)+y2,其中x1^2=2py1,x2^2=2py2,联立方程解得交点坐标，即M坐标x=(x1+x2)/2=xM=2,y=x1x2/(2p)=yM=-2p,于是x1+x2=4,x1x2=-4p^2,又A,B在曲线上则x1^2=2py1,x2^2=2py2，易知AB斜率存在，两式相减得AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/(2p)=2/p,于是弦长AB可表示为|AB|=(1+k^2)^0.5[(x1+x2)^2-4x1x2]^0.5=4*10^0.5,将k,x1+x2,x1x2的值代入化简整理得：(1+4/p^2)(1+p^2)=10,解得p^2=1,于是p=(+-)1,得抛物线方程为x^2=(+-)2y,解毕！希望你能采纳。哈哈！？