Question

数学的概率问题

甲乙丙三人玩掷骰子游戏，游戏规定：每人各投掷一次，在每次投掷中，若掷出1点，则甲得一分，若掷出2点或3点，则乙得一分，若掷出4点或5点或6点，则丙得一分，设X.Y.Z分别表示甲乙丙最后的得分
（1）求Y≥2的概率
（2）计η=X+Z，求随机变量η的概率分布列即数学期望

Answer 1

（1）
掷骰子共3次；Y的样本空间为{0,1,2,3},其中
事件[Y=0]=事件[3次中没有任何一次掷出2或3]
事件[Y=1]=事件[3次中只有1次掷出2或3]
事件[Y=2]=事件[3次中有2次掷出2或3]
事件[Y=3]=事件[3次都掷出2或3]
且: P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=1;
P(Y=0)=P(没有任何一次掷出2或3)=(4/6)^3=8/27;
P(Y=1)=P(只有1次掷出2或3)=C(3,1)(2/6)(4/6)^2=4/9
P(Y=2)=P(有2次掷出2或3)=C(3,2)(2/6)^2(4/6)=2/9;
P(Y=3)=P(每一次掷出都是2或3)=(2/6)*(2/6)*(2/6)=(1/3)^3=1/27;
所以
P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=1/27+2/9=1/3.
（2）
X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; Z=0,1,2,3;
但是只得3次分，因而必须满足【X+Y+Z=3】
随机变量η的样本空间为{0,1,2,3}
事实上 【η=3-Y】
所以
P(η=0)=P(Y=3)=1/27;
P(η=1)=P(Y=2)=2/9;
P(η=2)=P(Y=1)=4/9;
P(η=3)=P(Y=0)=8/27;

分布列：
┌——┬———┬———┬———┬———┐
│ η │ 0 │ 1 │ 2 │ 3 │
├——┼———┼———┼———┼———┤
│ p │ 1/27 │ 2/9 │ 4/9 │ 8/27 │
└——┴———┴———┴———┴———┘
期望E(η)=0*(1/27)+1*(2/9)+2*(4/9)+3*(8/27)=2