Question

由f(xy)=f(x)+f(y)，判断f(x) 的奇偶性，高手进

对实数R内的任意x，y，都满足f(xy)=f(x)+f(y)，判断f(x) 的奇偶性，我在网上搜索到的答案都是f(x)为偶函数，
令x=y=0，得f(0)=0，然后再令y=0，x任意取，则可得f(x*0)=f(x)+f(0)，即f(x)=0，而由x的任意性，知f(x)就是为0的常数函数，所以f(x)应该既是偶函数，同时也是奇函数啊，可为什么没有人说是奇函数呢，望高手指点
题目中是f(xy)=f(x)+f(y)，不是f(x+y)=f(x)+f(y)，另外，是对实数R内的任意x，y，也就是说x，y可以取0

Answer 1

这不是奇函数，比如f(x)=lg|x|
可知满足f(x)+f(y)=lg|x|+lg|y|=lg|xy|=f(xy)
显然，它只是偶函数不是奇函数
这里只是当x不能为0时满足你的要求的例子。
刚才看错了，不过这个题是有点问题，它的条件本身是带有偶函数的性质的
但由于它没有去除掉一些特殊的点，导致解出的方程为f(x)=0恒成立，你说它是奇函数还是偶函数都行。但从性质上讲，证明出的是偶函数，方法如下
令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0,
令x=y=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)=0
f(-1)=0
所以，当y=-1时有，f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)偶函数
你不用到f(x)恒为零这一点，无法用这种变换式找到让f(-x)=-f(x)这种关系式