Question

求定积分∫√（（x-a）（b-x））dx（b＞a） 积分上限为b，积分下限为a 要有详细过程

Answer 1

分析：由于[(x-a)(b-x)]^0.5={[(b-a)/2]^2-[x-(a+b)/2]^2}^0.5,可作一平移变换：x-(a+b)/2=t,并记c=(b-a)/2,则dx=dt,-c=<t<=c,于是原定积分J(a,b)[(x-a)(b-x)]^0.5dx=J(-c,c)[c^2-t^2]dt,则由定积分几何意义易知它表示半圆面积=(1/2)pi*c^2=(pi*(b-a)^2)/8.注：J表示积分符号,[-c,c]表示积分区间，pi=3.14159...。

Answer 2

抱歉二楼我答的纠正一处笔误原定积分=J[a,b][(x-a)(b-x)]^0.5dx=J[-c,c][c^2-t^2]^0.5dt,少写了个^0.5，补上，结果不变。觉得行可采纳二楼哈。

Answer 3

作三角代换 x-[(a+b)/2)]=[(a-b)/2]*sect