高一立体几何问题 10
已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且AE/AC=AF/AD=λ(0<λ<1)(1)求证:...
已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且AE/AC=AF/AD=λ(0<λ<1)
(1)求证:不论λ为何值,总有面BEF⊥面ABC
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
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(1)求证:不论λ为何值,总有面BEF⊥面ABC
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
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首先按照题意把图画出来,就简单多了
(1) 在三角形BCD中算出BD=根号2,然后又在三角形ABD中算出AB=根号6,接着在三角形ABC中算出AC=根号7。
这样AC=根号7,CD=1,AD=根号8,然后勾股定律,得出三角形ACD是直角三角形。
那么DC就垂直于面ABC
又因为AE/AC=AF/AD且角EAF=角CAD,所以三角形AEF与三角形ACD相似,那么EF平行于CD
所以EF垂直于面ABC,也就得出了面BEF垂直于ABC
(2)有第一问的帮助,第二问就简单了。你可以反过来想嘛,要想面BEF垂直于面ACD只要BE垂直于EF且垂直于AC就行了。第一问的结论可以得出BE垂直于EF。
于是你就可以这样想了,在直角三角形ABC中,BE是一条垂直于AC的线,这下子来算那个比值,就好算了。最后算出来是6/7
(1) 在三角形BCD中算出BD=根号2,然后又在三角形ABD中算出AB=根号6,接着在三角形ABC中算出AC=根号7。
这样AC=根号7,CD=1,AD=根号8,然后勾股定律,得出三角形ACD是直角三角形。
那么DC就垂直于面ABC
又因为AE/AC=AF/AD且角EAF=角CAD,所以三角形AEF与三角形ACD相似,那么EF平行于CD
所以EF垂直于面ABC,也就得出了面BEF垂直于ABC
(2)有第一问的帮助,第二问就简单了。你可以反过来想嘛,要想面BEF垂直于面ACD只要BE垂直于EF且垂直于AC就行了。第一问的结论可以得出BE垂直于EF。
于是你就可以这样想了,在直角三角形ABC中,BE是一条垂直于AC的线,这下子来算那个比值,就好算了。最后算出来是6/7
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因为AE/AC=AF/AD
所以推出EF//CD
又因为CD⊥BC
所以BC⊥EF
且AB⊥CD 【AB⊥面BCD】 可推出 AB⊥EF
所以推出EF⊥面ABC 所以面BEF⊥面ABC
若想平面BEF⊥平面ACD 可先使BE⊥面ACD
因为CD⊥BD且AB⊥CD 所以CD⊥BE
所以BE⊥面ACD 即可推出平面BEF⊥平面ACD
现在求解 当BE⊥AC时λ的值即为答案
因为BC=CD=1,∠ADB=60°可推出AB=√6 且BC=1
计算出AC=√7 在直角三角形ABC中 角B=90 且BE⊥AC
因为三边长度都知道 所以可解出AE=7分之6倍的√7
AE/AC=λ 可得出 λ=7分之6
所以推出EF//CD
又因为CD⊥BC
所以BC⊥EF
且AB⊥CD 【AB⊥面BCD】 可推出 AB⊥EF
所以推出EF⊥面ABC 所以面BEF⊥面ABC
若想平面BEF⊥平面ACD 可先使BE⊥面ACD
因为CD⊥BD且AB⊥CD 所以CD⊥BE
所以BE⊥面ACD 即可推出平面BEF⊥平面ACD
现在求解 当BE⊥AC时λ的值即为答案
因为BC=CD=1,∠ADB=60°可推出AB=√6 且BC=1
计算出AC=√7 在直角三角形ABC中 角B=90 且BE⊥AC
因为三边长度都知道 所以可解出AE=7分之6倍的√7
AE/AC=λ 可得出 λ=7分之6
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