Question

已知函数f(x)=2a+1/a-1/a^2x,常数a＞0

(1)设mn＞0，证明：函数f(x)在[m,n]上单调递增；
(2)设0＜m＜n且f(x)的定义域和值域都是[m,n]，求n-m的最大值。

Answer 1

(1)∵f（x）= （2a＋1）/a－1/a²x =（－1／a²）／x＋（2a＋1）/a 且a＞0
∴1／a²＞0 ∴－1／a²＜0
（这题类似反比例函数y=k／x，k≠0相当于k=－1／a²）
∵反比例函数y=（－1/a²）／x在[m，n]为增函数。（画出图像即可）
又f（x）的单调性与反比例函数y的单调性相同。
∴函数f（x）在[m，n]上单调递增。

（2(x)为直线！且x前系数-1/a^2<0
f(x)单调递减！
所以：f(m)=n;f(n)=m
代入：
2+1/a-(1/（a^2）m)=n
2+1/a-(1/（a^2）n)=m

两式相减得：
(n-m)(a^2-1)/a^2=0

(1)若a=1,m+n=3
0<m<n,故0<m<1.5<n<3
n-m=2n-3∈(0,3)，无最大值；
(2)若a≠1
由于n-m=a^2/(a^2-1)>0，故a^2>1,a>1
n-m=1+1/(a^2-1)∈(1,+∞)无最大值！

祝楼主钱途无限，事事都给力！