Question

高一数学问题，数学高手请进，谢谢

Answer 1

“从A到B的映射”的定义：如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。
请注意，映射必须保证集合A中所有的元素都能对应到集合B，但不保证集合B中的每一个元素都能被映射到。你可以设定让B的尽可能多的元素被映射到，如f(an) = bn，也可以指定所有的元素都映射到一个值上，如f(an) = b1。
因此，A到B的映射中，每一个a∈A都有m种选择，而A中一共有n个元素，因此总数是m^n个。
B到A的映射自然是n^m个。

“从A到B的函数”一词用的并不准确。按照题目的意思，我觉得应该是说“以A为定义域，B为值域的函数”。当说“以B为值域”的函数时，就要求集合B中的每一个元素都要被映射到。这就比映射的条件要苛刻许多。显然，这要求m <= n。
计算“以A为定义域，B为值域的函数”的个数，需要首先从A中选m个元素，让它们一一映射到B中。剩下的n - m个元素则可以随意排列。因此总的个数为
C(n, m) * m! * m^(n - m) = A(n, m) * m^(n - m)
如果按以B为值域理解的话，结果应该是A(n, m) * m^(n - m)个，与答案并不一致。
而如果n = m，则个数为A(n, n) = n!个，与答案一致。