Question

如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABE，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于点D

①求证：∠A=2∠D；
②若CD‖AB，判断∠ABC与∠A的关系，说明理由。

Answer 1

①证明：作∠A的平分线，交BD于F，交BC于G.BD与AC交于点O。
因为∠ACE是∠ACB的外角，所以∠ABC+∠A=∠ACE（外角定律）
同理∠AFD=∠ABD+∠FAB
因为BD，CD，分别是角平分线，所以∠ACD=∠ABD+∠FAB
所以∠ACD=∠AFD
在三角形AFO和DCO中，∠ACD=∠AFD，∠AOF=∠DOC，
所以∠FAO=∠D
因为∠FAO是∠A的一半，所以：∠A=2∠D；
②若CD‖AB，∠ABC=∠A
因为CD‖AB，∠ABC=∠DCE，（两直线平行，同位角相等），∠A=∠ACD，（两直线平行，内错角相等）。
因为∠ACD=∠DCE（角平分线）
所以，∠ABC=∠A（等量代换）

Answer 2

呃。。。十多年前的了。多快忘了。。。第一个简单。。。
因为：∠A+∠ABD=∠D+∠ACD
CD平分△ABC的外角∠ACE
BD平分∠ABE
∠ACD=1/2（∠A+2∠ABD）
所以：∠A+∠ABD=∠D+1/2∠A+∠ABD
1/2∠A=∠D
结果：∠A=2∠D
第二个：因为CD‖AB
∠D=∠ABD
∠A=2∠D
∠A=2∠ABD=∠ABC