Question

已知关于x的二次方程anx^2-an+1x+1=0的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1

(1)试用an表示an+1
（2）求数列an的前N项和sn

Answer 1

α+β=A(n+1)/An
αβ=1/An
6(α+β)=2αβ+3
6A(n+1)/An=2/An+3
6A(n+1)=3An+2
6A(n+1)-4=3An-2
2[3A(n+1)-2]=3An-2
[3A(n+1)-2]/[3An-2]=1/2 等比

C(n+1)=3A(n+1)-2
Cn=3An-2
c1=3A1-2=3/2
Cn=3/2*(1/2)^(n-1)=3*(1/2)^n=3An-2
An=(1/2)＾n+2/3

Answer 2

解：（1）由韦达定理得：α+β=an+1 an ，α•β=1 an ，
由6α-2αβ+6β=3得6•an+1 an -2 an =3，
故an+1=1 /2 an+1/ 3． ．
（2）证明：因为an+1-2 /3 =1/ 2 an-1 3 =1 /2 （an-2 3 ），
所以an+1-2 /3 an-2 3 =1/2 ，
故数列{an-2 3 }是公比为1 /2 的等比数列；
（3）当a1=7 6 时，数列{an-2 3 }的首项a1-2 3 =7 6 -2 3 =1 2 ，
故an-2 3 =1 2 •(1 /2 )n-1=(1 /2 )n，
于是．an=(1/ 2 )n+2 3 ．