Question

高等数学证明不等式

设常数a>In2-1,证明：当x>0时,e^x>x^2-2ax+1

答案是：证明：设f(x)=e^x-(x^2-2ax+1),则f'(x)=e^x-2x+2a,f''(x)=e^x-2.令f''(x)=0,得x=In2.
当x<In2时，f''(x)<0；当x>In2时，f''(x)>0.
所以f'(x)在x=In2处取到最小值，因此f'（x）>=f'(In2)=2-2In2+2a>0.于是f(x)为单调增加函数.
故当x>0时，有f(x)>f(0)=0，即e^x>x^2-2ax+1

这到题我不明白为什么当x<In2时，f''(x)<0；当x>In2时，f''(x)>0.
x<In2时，所以f'(x)在x=In2处取到最小值 这步怎么通过x<In2时，f''(x)<0；当x>In2时，f''(x)>0.得出的f'(x)在x=In2处取到最小值呢！
请高手帮我解答一下！谢谢

Answer 1

答案的意思是g（x）=f'(x)=e^x-2x+2a 是另外一个函数，
因为g ‘（x）=e^x-2=0 解得x=In2，说明g（x）=e^x-2x+2a 在x=In2取得极值。
当x<In2时g ‘（x）=e^x-2=e^x-e^ln2<0（因为指数函数在底>1时是单调递增的）
说明当x<In2时，g（x)=e^x-2x+2a 单调递减。（导函数<0，原函数单调递减）
当x>In2时g ‘（x）=e^x-2=e^x-e^ln2>0（因为指数函数在底>1时是单调递增的）
说明当x>In2时，g（x)=e^x-2x+2a 单调递增。（导函数>0，原函数单调递增）
所以g（x）=e^x-2x+2a 在x=In2取得极小值，也就是g（x）≥g（ln2）=2-2ln2+2a
而由条件a>In2-1可知g（x）>0,所以f(x)=e^x-(x^2-2ax+1)为单调增加函数。
（同样，导函数>0，原函数单调递增）

Answer 2

数形结合。f'(x)<0表示f(x)递减，f‘(x)>0表递增因此x=ln2时为最小值