Question

一道高中数学概率问题

一种掷硬币（质地均匀）走跳棋的游戏，棋盘上有第0,1,2，…，100，共101站，一枚棋子开始在0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳一次，若硬币出现正面，则跳棋向前跳一站，若硬币出现反面，则跳棋向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或者100站（失败）时游戏结束。则玩该游戏获胜的概率是多少？

Answer 1

设在棋子0站的概率为 a0 , 在1站的概率为 a1 ,在2站的概率为 a2 ,依此类推,在 98、99、100 站时概率分别为 a98 、a99 、a100
因为一开始就在0站,所以 a0 = 1
硬币掷出正反面的概率是一样的，所以第一次掷跳到 1站和2站的概率都是0.5
1站只能从0站跳过来，所以 a1 = 0.5a0
2站可能从0站跳过来，也可能从1站跳过来，所以 a2 = 0.5a0 + 0.5a1
依此类推，可得：
a0 = 1
a1 = 0.5a0
a2 = 0.5a0 + 0.5a1
a3 = 0.5a1 + 0.5a2
a4 = 0.5a2 + 0.5a3
a5 = 0.5a3 + 0.5a4
。。。。。。
a99 = 0.5a97 + 0.5a98
而第100站只能由98站跳过来，所以
a100 = 0.5a98
把上述式子,分别前后两式相加：
a0 + a1 = 1 + 0.5a0 -> a1 = 1- 0.5a0 -> a1 = 1 - 0.5
a1 + a2 = 0.5a0 + 0.5a0 + 0.5a1 -> a1 + a2 = a0 + 0.5a1 -> a2 = a0 - 0.5a1 = 1 - 0.5(1 - 0.5) -> a2 = 1 - 0.5 + 0.5^2
a2 + a3 = 0.5a0 + 0.5a1 + 0.5a1 + 0.5a2 -> a3 = 0.5a0 + a1 - 0.5a2 = 0.5 + 1 - 0.5 -0.5(1 - 0.5 + 0.5^2) -> a3 = 1 - 0.5 +0.5^3 -0.5^3
a3 + a4 = 0.5a1 + a2 + 0.5a3 -> a4 = 0.5(1 - 0.5) + (1 - 0.5 + 0.5^2) - 0.5(1 - 0.5 + 0.5^2 - 0.5^3) -> a4 = 1 - 0.5 + 0.5^2 - 0.5^3 + 0.5^4
同理推出
a98 = 1 - 0.5 + 0.5^2 - 0.5 ^3 + ...... + 0.5^98
a99 = 1 - 0.5 + 0.5^2 - 0.5 ^3 + ...... + 0.5^98 - 0.5^99
a99 = a98 - 0.5^99
a100 = 0.5a98
用等比数列求和公式可求出
a98 = 1*(1 - (-0.5)^99) / (1 - (-0.5)) = (1 + 0.5^99)/1.5
a99 = 1*(1 - (-0.5)^100) / (1 - (-0.5)) = (1 - 0.5^100)/1.5
那么跳到99站、100站的概率分别为：
a99 = (1 - 0.5^100)/1.5
a100 = 0.5(1 + 0.5^99)/1.5
a99 = (2 - 0.5^99)/3
a100 = (1 + 0.5^99)/3
则玩该游戏获胜的概率是 a99 = (2 - 0.5^99)/3 ，约为 2/3

Answer 2

这个是选择题你就直接选那个50%就可以了。如果是计算题，需要长编大论而且麻烦的计算。
由于银币（质地均匀），所以出现正面是50%，出现反面是50%。
到达97的机率是50%，（97次正面的机率）+（（95次正面+1次反面）的机率）。。。。。。（此处省略1000字）
到达98的机率是50%，（49次反面的机率）+（（48次反面+2次正面）的机率）。。。。。。
（此处省略1000字）
然后，到达97时，再来一次反面，获胜，1/2 x 1/2 ＝1/4
到达98时，再来一次正面，获胜，1/2 x 1/2 ＝1/4
上述两种互不重复，所以1/4 +1/4 ＝1/2 就是50% 。

总之，这个题目的突破口在于97，98两步，你能够计算出，到达97和98的机率就迎刃而解了。

Answer 3

当它到达97步，走一次得到反面获胜
当它到达98步，走一次得到正面获胜
由此可以对两种情况进行猜测：
97步：前面的可以猜分为1个正其他的反，2个正其他的反，……95个正1个反，全是正
98步：前面的可以猜分为2个正其他的反，4个正其他的反，……96个正1个反，全是正
由此我们可以得到它们每一次的概率
由于计算起来可能较为繁琐，就不算了，靠你自己

Answer 4

http://zhidao.baidu.com/question/196844459.html?si=1

Answer 5

三楼回答正确