Question

设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax

（1）当a≥1时，试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数；
（2）当0＜a＜1，试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数。

Answer 1

(1)当a<=0时，-ax在[0,+∞)上递增，√（x2+1）在[0,+∞)也递增，

所以f(x)在[0,+∞)上递增，为单调函数。

（2）当a>0时，利用单调函数定义可以判断f(x)当a>=1时为单调减函数。

判断如下：假设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=

(√(x12+1）-ax1)-(√(x22+1）-ax2)=(√(x12+1）-√(x22+1）)-a(x1-x2)

=(x12-x22)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a(x1-x2)

=(x1-x2)(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a(x1-x2)

=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a]

因为√(x12+1）+√(x22+1）>=x1+x2,

所以)(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）<=1,

所以当a>=1时（x1-x2)[(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a]>=0成立，

则f(x)为减函数。

当a<1时)[(x1+x2)/(√(x12+1）+√(x22+1）)-a]的正负不能确定，所以f(x)

不具有单调性。

综合得到函数f(x)在[0,+∞)上为单调性时，a的范围是;a<=0或a>1。

（下面附上，a=-1增函数,a=0.5有时减有时增不单调,a=1.5减函数，请你作比较和观察。）

Answer 2

哎，赶作业